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- 2021-04-28 发布
山丹一中2019-2020学年上学期期中试卷
高一数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
详解】，则
【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2.已知集合，，则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据真子集的定义可判断出结果.
【详解】，，且
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.
3.已知函数则的值是( )
A. 0 B. 1 C. D. －
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定函数自变量的取值范围再代入分段函数解析式求解.
【详解】∵.
∴，
故选：C.
【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4.与函数相等的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：，其中，A，B，D中定义域都不是，只有C化简后与题设函数，相同，故选C．
考点：函数的定义．
5.已知表示不超过的最大整数，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数表达式建立不等式，结合[x]的定义进行求解即可．
【详解】解：要使函数有意义，则≥0，
即≤1，得0＜[x]≤2，
则1≤x＜3，
即函数的定义域为[1，3），
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数的性质建立不等式关系是解决本题的关键．
6.已知实数，满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，借助特例法及函数的单调性，即可判断正误.
【详解】∵实数，满足，
∴，
对于A，取x＝0，y＝﹣2，不成立；
对于B，取x＝0，y＝﹣1，不成立；
对于C，取x＝2，y＝1，不成立；
对于D，在上单调递增，显然正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
7.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则( )
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，再利用奇函数的性质得，可得出答案。
【详解】由题意可得，，由于函数是定义在上的奇函数，
因此，，故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，解题时要注意结合自变量选择解析式求解，另外就是灵活利用奇偶性，考查计算能力，属于基础题。
8.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据关于的变化速度来考察．
【详解】圆柱中液面上升的速度是一个常量，说明单位时间内漏斗滴落液体的速度是相同的，因此关于的函数是增函数，且变化越来越快．故选A．
【点睛】
本题考查函数的图象，解题关键是确定函数变化的趋势．虽然四个图象都是增函数，但每个图象所反应的关于的变化速度是不一样的，因此可根据实际情况选择．
9.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性求解即可.
【详解】由题得函数的定义域为，
设函数，则函数u在单调递增，在单调递减，
因为函数在定义域上单调递减，
所以函数在单调递增.
故选：D
【点睛】本题主要考查复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.设，则f（3）的值是
A. 128 B. 256
C. 512 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
先由给出解析式求出函数f（x）的解析式，然后把3代入求值．
详解】设log2x=t，则x=2t，所以f（t）=，即f（x）=．
则f（3）=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了指数式和对数式的互化，考查了利用换元法求函数解析式，考查了函数值的求法，是基础题．
11. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.
12.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令＜即可．
详解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵＞0，f（﹣）=f（），
即
∴0＜a＜．
故选：B．
点睛：本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
要使函数有意义，需解得00，求x的取值范围；
（2）若x∈（–1，3]，求f（x）的值域．
【答案】（1）x>3．（2）f（x）的值域为（–∞，0]．
【解析】
【分析】
(1)根据对数函数单调性解不等式得结果，(2) 根据对数函数单调性确定函数值域.
【详解】（1）函数f（x）=log2（x+1）–2，
∵f（x）>0，即log2（x+1）–2>0，
∴log2（x+1）>2，
∴log2（x+1）>log24，
∴x+1>4，
∴x>3．
（2）∵x∈（–1，3]，
∴x+1∈（0，4]，
∴log2（x+1）∈（–∞，2]，
∴log2（x+1）–2∈（–∞，0]．
∴f（x）的值域为（–∞，0]．
【点睛】本题考查对数函数单调性以及值域，考查基本求解能力.
19.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1＜f(1)＜1，求实数a的取值范围．
【答案】(1) f(x)＝ (2)∪(2，＋∞)．
【解析】
【分析】
（1）利用代入法求出函数在x＜0时的解析式，即得函数f(x)的解析式；（2）对a分类讨论，解不等式－1＜loga2＜1得解.
【详解】(1)当x＜0时，－x＞0，
由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴当x＜0时，f(x)＝loga(－x＋1)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜loga2＜1，
∴loga＜loga2＜logaa.
①当a＞1时，原不等式等价于解得a＞2；
②当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得0＜a＜.
综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)．
【点睛】本题主要考查奇偶函数在对称区间的解析式的求法，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20.已知函数是偶函数．
(I)求a的值；
(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
【答案】（I）. （II）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性求出a的值即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性的定义证明即可．
试题解析：（I）函数的定义域为.
由得.
所以.
因为对于定义域中任意的x都成立，
所以.
（II）函数在区间上是减函数
证明：在上任取，，且，
则，
由，的，，，
于是，即.
所以函数在区间上是减函数.
21.已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
（2）对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），奇函数；（2） .
【解析】
【分析】
（1）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．
（2）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．
【详解】(1)由 ，解得或，
∴函数的定义域为，
当 时，
，
∴是奇函数．
(2)由于时， 恒成立，
∴ >0，
∵，∴在上恒成立．
令，
由二次函数的性质可知，时函数单调递增，时函数单调递减，
即时，，所以.
【点睛】本题考查了对数函数的性质的运用能力和化简计算能力．属于基础题．
22.已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式，.
【答案】（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.
【解析】
分析】
(1)根据函数奇偶性和题干得到，进而求得参数；（2）根据奇偶性和单调性得到求解即可.
【详解】（1），；
（2）任取，
所以函数在上是增函数；
（3）
.
【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题；对于解不等式问题，一种方法是可以直接代入函数表达式，进行求解，一种方法是通过研究函数的单调性和奇偶性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系.