2020_2021学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2 24页

2.4.1 　圆的标准方程 激趣诱思 知识点拨 月亮 , 是中国人心目中的宇宙精灵 , 古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮 , 在文学作品中也大量描写、吟咏月亮 . 有诗道 :“ 明月四时有 , 何事喜中秋 ? 瑶台宝鉴 , 宜挂玉宇最高头 ; 放出白豪千丈 , 散作太虚一色 . 万象入吾眸 , 星斗避光彩 , 风露助清幽 .” 如果把天空看作一个平面 , 在上面建立一个平面直角坐标系 , 那么月亮的坐标方程如何表示 ? 激趣诱思 知识点拨 一、圆的标准 方程 名师点析 (1) 当圆心在原点即 A (0,0) 时 , 方程为 x 2 +y 2 =r 2 . (2) 当圆心在原点即 A (0,0), 半径长 r= 1 时 , 方程为 x 2 +y 2 = 1, 称为单位圆 . (3) 相同的圆 , 建立坐标系不同时 , 圆心坐标不同 , 导致圆的方程不同 , 但是半径是不变的 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 圆心在 y 轴上 , 半径为 1, 且过点 (1,2) 的圆的方程是 ( 　　 ) A. x 2 + ( y- 2) 2 = 1 B. x 2 + ( y+ 2) 2 = 1 C.( x- 1) 2 + ( y- 3) 2 = 1 D. x 2 + ( y- 3) 2 = 1 解析 : 设圆心为 (0, b ), 则圆的方程为 x 2 + ( y-b ) 2 = 1, 又点 (1,2) 在圆上 , 所以 1 + (2 -b ) 2 = 1, b= 2, 故方程为 x 2 + ( y- 2) 2 = 1 . 答案 : A 激趣诱思 知识点拨 二、点与圆的位置关系 圆 C :( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 ( r> 0), 其圆心为 C ( a , b ), 半径为 r , 点 P ( x 0 , y 0 ), 设 激趣诱思 知识点拨 微练习 点 P ( - 2, - 2) 和圆 x 2 +y 2 = 4 的位置关系是 ( 　　 ) A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 以上都不对 解析 : 将点 P 的坐标代入圆的方程 , 则 ( - 2) 2 + ( - 2) 2 = 8 > 4, 故点 P 在圆外 . 答案 : B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 求圆的标准方程 例 1 求圆心在直线 x- 2 y- 3 = 0 上 , 且过点 A (2, - 3), B ( - 2, - 5) 的圆的标准方程 . 思路分析 : 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径 , 再写方程 , 也可以设出方程用待定系数法求解 , 也可以利用几何性质求出圆心和半径 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解 : ( 方法 1) 设点 C 为圆心 , ∵ 点 C 在直线 : x- 2 y- 3 = 0 上 , ∴ 可设点 C 的坐标为 (2 a+ 3, a ) . 又 ∵ 该圆经过 A , B 两点 , ∴ |CA|=|CB|. 故所求圆的标准方程为 ( x+ 1) 2 + ( y+ 2) 2 = 10 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 ( 方法 2) 设所求圆的标准方程为 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 , 圆心坐标为 ( a , b ), 故所求圆的标准方程为 ( x+ 1) 2 + ( y+ 2) 2 = 10 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 圆的标准方程的两种求法 (1) 几何法 它是利用图形的几何性质 , 如圆的性质等 , 直接求出圆的圆心和半径 , 代入圆的标准方程 , 从而得到圆的标准方程 . (2) 待定系数法 由三个独立条件得到三个方程 , 解方程组以得到圆的标准方程中三个参数 , 从而确定圆的标准方程 . 它是求圆的方程最常用的方法 , 一般步骤是 : ① 设 —— 设所求圆的方程为 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 ; ② 列 —— 由已知条件 , 建立关于 a , b , r 的方程组 ; ③ 解 —— 解方程组 , 求出 a , b , r ; ④ 代 —— 将 a , b , r 代入所设方程 , 得所求圆的方程 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知圆过点 A (1, - 2), B ( - 1,4), 求 : (1) 周长最小的圆的方程 ; (2) 圆心在直线 2 x-y- 4 = 0 上的圆的方程 . (1) 解 : 当 AB 为直径时 , 过点 A 、 B 的圆的半径最小 , 从而周长最小 , 即 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 点与圆的位置关系 例 2 (1) 点 P ( m 2 ,5) 与圆 x 2 +y 2 = 24 的位置关系是 ( 　　 ) A. 点 P 在圆内 B. 点 P 在圆外 C. 点 P 在圆上 D. 不确定 思路分析 : (1) 首先根据圆的方程确定圆心和半径 , 然后利用 P 到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系 ;(2) 首先确定圆心和半径 , 利用圆心到点 M 的距离小于半径列出不等式求解 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : (1)B 　 (2)[0,1) 反思感悟 点与圆的位置关系及其应用 点与圆的位置关系有三种 : 点在圆内、点在圆上、点在圆外 . 判断点与圆的位置关系有两种方法 : 一是用圆心到该点的距离与半径比较 , 二是代入圆的标准方程 , 判断与 r 2 的大小关系 . 通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 2 若点 (1,1) 在圆 ( x-a ) 2 + ( y+a ) 2 = 4 的内部 , 则 a 的取值范围是 ( 　　 ) A .a<- 1 或 a> 1 B .- 1 m , 即 m< 10 . 又 m> 0, 故 m 的取值范围是 (0,10) . 答案 : (0,10) 4 . 圆 ( x+ 2) 2 +y 2 = 5 关于原点 O (0,0) 对称的圆的方程为 　　　　　　　　　　　　 .   解析 : 已知圆的圆心 ( - 2,0) 关于原点的对称点为 (2,0), 半径不变 , 故所求对称圆的方程为 ( x- 2) 2 +y 2 = 5 . 答案 : ( x- 2) 2 +y 2 = 5