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- 2021-04-28 发布
2019-2020学年天津市南开中学滨海生态城学校高二第二学期期中数学试卷
一、单选题（共12小题）.
1.为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（ ）
A. 0.97 B. 0.86 C. 0.65 D. 0.55
【答案】A
【解析】
【分析】
在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．
【详解】由题意，四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，
根据在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，
可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97．
故选：A．
【点睛】本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．
2. 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )．
A. 无极大值点，有四个极小值点
B. 有三个极大值点，两个极小值点
C. 有两个极大值点，两个极小值点
D. 有四个极大值点，无极小值点
【答案】C
【解析】
试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与
轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与有四个交点，其中两个极大值，两极小值.
考点：函数的极值.
3.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了位育龄妇女，结果如表.
非一线
一线
总计
愿生
不愿生
总计
附表：
由算得，参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
D. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
【答案】B
【解析】
分析：根据独立性检验求得值，与临界值比较，即可判断是否有关．
详解：根据
所以有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，或在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”．
所以选B
点睛：本题考查了独立性检验的基本内容，主要是注意两种不同回答方式，属于简单题．
4.已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为（ ）
A. 0，1 B. 1，2 C. 0，1，2 D. 0，1，2，3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件，可直接推出ξ的取值，得到答案．
【详解】由题意，从8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品件数为随机变量，
可得随机变量ξ的取值可以是0，1，2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的取值的判断及求解，其中解答中正确理解题意是解答的关键，属于基础题．
5.已知X的分布列为
X
﹣1
0
1
P
且Y＝aX+3，E（Y），则a为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用期望的计算公式，计算出EX，再由期望的性质，Y＝aX+3，求出a即可．
【详解】先求出（﹣1）01．
再由Y＝aX+3得．
∴a（）+3，解得a＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望及期望的性质，考查了基本运算的能力，属于基础题．
6.设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A. μ1＜μ2，σ1＜σ2
B. μ1＜μ2，σ1＞σ2
C. μ1＞μ2，σ1＜σ2
D. μ1＞μ2，σ1＞σ2
【答案】A
【解析】
由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.
考点：正态分布.
7.从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件概率的计算方法，先求出取两次球，第一次取到红球的取法数，然后求出第一、二次都取得红球的取法数，代入公式，即可求解．
【详解】因为从装由3个红球2个白球的袋子中，所以先后取2个球，取后不放回，
则第一次取到红球的取法数，共有，
第一、二次都取到红球的取法数，共有，
故第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为P．
故选：C．
【点睛】本题主要考查条件概率的计算方法，以及计数原理的应用，其中解答中要注意对条件概率的理解与计算方法，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
8.设函数，若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以.
考点：利用导数求函数的单调性.
【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知的零点，
所以∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，
f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．
即.
9.4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（ ）
A. 81 B. 64 C. 24 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】
利用排列、组合中的乘法原理求得结果．
【详解】解：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．
故选：A
【点睛】本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用，属于基础题．
10.（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
11.已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
函数f（x）=ex-mx+1的导数为f′（x）=ex-m，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，即有有解，即 由ex＞0，则m＞则实数m的范围为
故选B
12.若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知且，故函数最多两个零点，故函数必须有零点，而函数是单调函数，故函数最多有一个零点，所以得出函数必须有一个零点，函数必须有两个零点，再结合图象，根据函数零点存在定理得出的范围．
【详解】解：由题意可知且，
当时，
函数的导函数为，
所以函数在为减函数，在为增函数，
故函数最多两个零点；
而当时，
函数是单调函数，
故函数最多有一个零点；
根据上述分析可以得出：函数必须有两个零点，函数必须有一个零点．
当时，
在函数中，
因为，
故，解得，
当时，
当时，函数是单调递减，
，不满足题意，
当时，函数是单调递增，
因为在时有一个零点，
则，解得：
综上：，故选C．
【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，解题时运用了数形结合、分类讨论等思想方法进行求解，属于较难题．
二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
13.，若，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
先求导数，然后根据，列出方程，即可求解的值，得到答案．
【详解】由题意，函数，可得，
因为，可得，即，解得.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了考查导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算法则，准确运算是解答的关键，属于基础题．
14.已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝_____．
【答案】0.35
【解析】
【分析】
由已知求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P（2＜ξ＜3），则答案可求．
【详解】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，
∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，
则P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35.
故答案为：0.35．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
15.要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是_____．
【答案】60
【解析】
【分析】
直接用排列数公式计算.
【详解】根据排列的定义，可知一共有5×4×3＝60种．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查排列的应用．考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力，属于容易题.
16.（）6的展开式中常数项是_____．
【答案】-160
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．
【详解】展开式的通项为Tr+1＝
令3﹣r＝0得r＝3
所以展开式的常数项为＝﹣160
故答案为：﹣160．
【点睛】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．
17.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．
【答案】－4
【解析】
∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，
∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.
18.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
每次取到黄球的概率均为，利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式能求出3次中恰有2次抽到黄球的概率．
【详解】 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，
每次取到黄球的概率均为，
∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为：
P．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题题．
19.已知f（x）＝lnx，g（x）x2+mx（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点为（1，f（1）），则m的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，，g′（x）＝x+m（m＜0），从而可得直线l的斜率为，切点为（1，0）；从而求出直线方程，联立令△＝0即可求出m的值.
【详解】解：由题意，， 故直线l的斜率为，
切点为（1，0）；故直线l的方程为y＝x﹣1；
即x﹣y﹣1＝0；由x2+mxy，y＝x﹣1消y得，
x2+2（m﹣1）x+9＝0,故，
解得，m＝﹣2（m＜0）；
故答案为：．
【点睛】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．
20.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，且f（3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是_____．
【答案】（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
【解析】
【分析】
令，，当x＞0时，，可得x∈（0，+∞）上，函数单调递增．由，可得．由函数是定义在R上的奇函数，可得函数是定义在R上的偶函数．进而得出不等式的解集．
【详解】解：令，
当x＞0时，
∴x∈（0，+∞）上，函数单调递增．
，∴．
∵函数是定义在R上的奇函数，
∴函数是定义在R上偶函数．
由，即，
∴|x|＞3，
解得x＞3，或x＜﹣3．
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
21.每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．
（Ⅰ）求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ分布列及数学期望．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，1.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，利用古典概型求解即可．
（Ⅱ）由题意可知；求出概率可得到的分布列，再由期望公式即可求得期望．
【详解】（Ⅰ）根据古典概型概率求法，可设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，则选中2道“生态环保题”，
则，
（Ⅱ）由题意可知；
则，
，
，
所以的分布列为：
0
1
2
故的期望．
【点睛】本题考查古典概型概率求法，离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，属于基础题．
22.甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是和，每次投篮相互独立互不影响．
（Ⅰ）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ），．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求出甲乙两人都未投中的概率，再根据对立事件的概率进行计算即可；
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个的取值，求得相应的概率，得出分布列，进而求出数学期望；
（Ⅲ）随机变量，根据二项分布的性质求概率和数学期望即可．
【详解】（Ⅰ）设甲投中为事件B，乙投中为事件C，则，
所以．
（Ⅱ）随机变量的可能取值为，
则， ，，
所以随机变量的分布列为
X
0
1
2
P
所以数学期望．
（Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为ξ，可得随机变量，
所以，
所以随机变量数学期望．
【点睛】本题考查独立事件的概率、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，以及二项分布的数学期望计算，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力．
23.已知函数f（x）＝x3ax2﹣x+1（a∈R）．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）当a＜0时，设g（x）＝f（x）+x．
①求函数g（x）的极值；
②若函数g（x）在[1，2]上的最小值是﹣9，求实数a的值．
【答案】（1）8x﹣y﹣4＝0；（2）①极大值是1，极小值为，②﹣3
【解析】
【分析】
（1）求出导数，再求出，然后代入直线的点斜式，求出切线方程；
（2）①求出导数的零点，然后判断零点左右的符号，确定极值情况；②因为函数连续，所以只需综合极值、端点处函数值，大中取大，小中取小，确立函数的最值.
【详解】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x3+3x2﹣x+1，＝3x2+6x﹣1，
∴k＝＝8，f（1）＝4，故切线方程为y﹣4＝8（x﹣1），即：8x﹣y﹣4＝0．
（2）①g（x）＝f（x）+x＝x3，a＜0，
∴令g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a）＝0得x1＝0，x2＝﹣a＞x1．
随着x的变化，g（x）和g′（x）的变化如下：
x
（﹣∞，0）
0
（0，﹣a）
﹣a
（﹣a，+∞）
g′（x）
+
0
﹣
0
+
g（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以g（x）的极大值是g（0）＝1；极小值为g（﹣a）．
②g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a），
（1）当﹣1≤a＜0时，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]内递增，
g（x）min＝g（1）（舍去）．
（2）当﹣2＜a＜﹣1时，则x，g′（x），g（x）关系如下：
x
（1，﹣a）
﹣a
（﹣a，2）
g′（x）
﹣
0
＝
g（x）
↓
极小值
↑
g（x）min＝g（﹣a）（舍）．
（3）当a≤﹣2时，g（x）在[1，2]内单调递减，
g（x）min＝g（2）＝6a+9＝﹣9，a＝﹣3．
综上可知，a＝﹣3．
【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数研究单调性、极值、最值是最常见的考查模式．同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力．
24.已知函数h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex（a∈R）．
（Ⅰ）求函数h（x）单调区间；
（Ⅱ）若∃x1，x2∈（1，2），且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．
【答案】（Ⅰ）增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；减区间是（﹣2，0）．（Ⅱ）（3，8）．（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得函数的导数，根据函数f（x）导数的符号，然后确定原函数的单调性；
（Ⅱ）要满足题意，只需函数在（1，2）内有增有减，即存在极值点，则问题转化为函数的导数在（1，2）内存在变号根即可；
（Ⅲ）先求出f（x）的两个极值点，然后对两个极值点的函数值结合单调性作比较来证明结论．
【详解】（Ⅰ）h（x）＝x2ex，∴h′（x）＝ex（x2+2x），
当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）的增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；
当x∈（﹣2，0）时，h′（x）＜0，所以h（x）的减区间是（﹣2，0）．
（Ⅱ）依题意，函数f（x）＝ex（x2﹣a）在（1，2）上不是单调函数，
因为f（x）是连续函数，所以f（x）在（1，2）上需有极值，
由于f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），即x2+2x﹣a＝0在（1，2）内有变号根，
令u（x）＝x2+2x﹣a，显然该函数在（1，2）上递增，
故需，即，解得3＜a＜8，
所以a的范围是（3，8）．
（Ⅲ）由h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex，则f（x）＝x2ex﹣aex，
可得f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），
设方程ex（x2+2x﹣a）＝0的两个不等实根是x1，x2，
则首先满足△＝4+4a＞0，解得a＞﹣1，
又由x2+2x﹣a＝0，解得，，此时x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣a．
随着x变化，f′（x），f（x）的变化如下：
x
（﹣∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以x1是函数f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点．所以f（x1）是极大值，f（x2）是极小值，
，
又因为，所以
所以．
【点睛】本题考查导数的综合运用，即利用导数研究函数的单调性、极值以及不等式问题，同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力等，属于难题．