2021届高考数学一轮复习第九章概率与统计第1讲随机事件的概率课件 32页

第九章 概率与统计 第 1 讲 随机事件的概率 课标要求 考情风向标 1. 在具体情境中，了解随机事件 发生的不确定性和频率的稳定 性，进一步了解概率的意义以 及频率与概率的区别 . 2. 通过实例，了解两个互斥事件 的概率加法公式 随机事件的概率在高考中多以 选择题、填空题的形式考查， 也时常在解答题中出现，应用 题也是常考题型，并且常与统 计知识放在一块考查 . 复习时应 借助古典概型考查互斥事件、 对立事件的概率 1. 随机事件和确定事件 (1) 在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必 然事件 . (2) 在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的 不可能事件 . (3) 必然事件与不可能事件统称为确定事件 . (4) 在条件 S 下可能发生也可 能不发生的事件，叫做随机事 件 . (5) 确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A ， B ， C …… 表示 . 2. 频率与概率 (1) 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否 出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数， 称事件 A 出现的比例 f n ( A ) ＝ ________ 为事件 A 出现的频率 . (2) 对于给定的随机事件 A ，如果随着试验次数的增加，事 件 A 发生的频率 f n ( A ) 稳定在某个常数附近，把这个常数记作 P ( A ) ，则称 P ( A ) 为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 . 关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件 A 发生，则事件 B 一定发生， 这时称事件 B 包含事件 A ( 或称事件 A 包含于事件 B ) B ⊇ A ( 或 A ⊆ B ) 相等关系 若 B ⊇ A ，且 A ⊇ B ______ 并事件 ( 和事件 ) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或 事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与 事件 B 的并事件 ( 或和事件 ) A ∪ B ( 或 A ＋ B ) 3. 事件的关系与运算 A ＝ B 关系与运算 定义 符号表示 交事件 ( 积事件 ) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且 事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与 事件 B 的交事件 ( 或积事件 ) A ∩ B ( 或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为不可能事件，则事件 A 与事 件 B 互斥 A ∩ B ＝ ∅ 对立事件 若 A ∩ B 为不可能事件， A ∪ B 为必然 事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对 立事件 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 1 ( 续表 ) 4. 概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围： 0≤ P ( A )≤1. (2) 必然事件的概率 P ( E ) ＝ ________. (3) 不可能事件的概率 P ( F ) ＝ ________. (4) 互斥事件概率的加法公式： ① 若事件 A 与事件 B 互斥，则 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ； ② 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P ( A ) ＝ 1 － P ( B ). (5) 对立事件的概率： P ( A ) ＝ __________. 1 0 1 － P ( A ) 1. 从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概 率为 ( ) B A. 1 5 B. 2 5 C. 8 25 D. 9 25 2.(2019 年全国 Ⅲ ) 两位男同学和两位女同学随 机排成一列， 则两位女同学相邻的概率是 ( ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 解析： 两位男同学和两位女同学排成一列，∵男生和女生 人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，∴两位女 D 3.(2018 年新课标 Ⅲ ) 若某群体中的成员只用现金支付的概 率为 0.45 ，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15 ，则不 用现金支付的概率为 ( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 B A 考点 1 事件的概念及判断 例 1 ： (1) 一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意 取出 1 个球 . ①“ 取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？ ②“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？ ③“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是 多少？ 解： ①由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出 的球是红球”不可能发生，因此，它是不可能事件，其概率为 0. ② 由已知，从口袋内取出 1 个球，可能是白球也可能是 黑 ③ 由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出 1 个球 不是黑球，就是白球 . 因此，“取出的球是白球或是黑球”是必 然事件，它的概率是 1. (2) 从 6 名男生、 2 名女生中任取 3 人，则下列事件中的必 然事件是 ( ) A.3 人都是男生 C.3 人都是女生 B. 至少有 1 名男生 D. 至少有 1 名女生 答案： B 【 规律方法 】 一定会发生的事件叫做必然事件；一定不会 发生的事件叫做不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫 做随机事件 . 考点 2 随机事件的频率与概率 例 2 ： (1) (2019 年新课标 Ⅲ ) 《 西游记 》《 三国演义 》《 水浒 传 》 和 《 红楼梦 》 是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说 四大名著 . 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调 查了 100 位学生，其中阅读过 《 西游记 》 或 《 红楼梦 》 的学生 共有 90 位，阅读过 《 红楼梦 》 的学生共有 80 位，阅读过 《 西 游记 》 且阅读过 《 红楼梦 》 的学生共有 60 位，则该校阅读过 《 西 游记 》 的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 解析： 由题意得，阅读过 《 西游记 》 的学生人数为 90 － 80 ＋ 60 ＝ 70 ，则其与该校学生人数之比为 70∶100 ＝ 0.7. 故选 C. 答案： C 顾客人数 / 人 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (2) 某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买 甲、乙、 丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中 “ √ ” 表示 购买， “ × ” 表示未购买 . ① 估计顾客同时购买乙和丙的概率； ② 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； ③ 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪 种商品的可能性最大？ 解： ① 从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 200 位顾 客同时购买了乙和丙，∴顾客同时购买乙和丙的概率可以估计 为 200 1000 ＝ 0.2. ② 从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 100 位顾客同 时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙， 其他顾客最多购买了 2 种商品，∴顾客在甲、乙、丙、丁中同 时购买 3 种商品的 概率可以估计为 100 ＋ 200 1000 ＝ 0.3. 【 规律方法 】 概率和频率的关系：概率可看成频率在理论 上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小， 它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近， 只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率 . 考点 3 互斥事件、对立事件的概率 例 3 ： (1) 装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球，则与事件“两球都为 白球 ” 互斥而非对立的事件是 ( ) “① 两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少 有一个白球” . A.①② C.②③ B.①③ D.①②③ 解析： 从口袋内一次取出 2 个球，这个试验的基本事件 空 间 Ω ＝ {( 白，白 ) ， ( 红，红 ) ， ( 黑，黑 ) ， ( 红，白 ) ， ( 红，黑 ) ， ( 黑， 白 )} ，包含 6 个基本事件，当事件 A “ 两球都为白球”发生时， ①② 不可能发生，且 A 不发生时，①不一定发生，②不一定发 生，故非对立事件，而 A 发生时，③可以发生，故不是互斥事 件 . 答案： A (2)(2019 年新课标 Ⅱ ) 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分， 当某局打成 10∶10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方 获胜，该局比赛结束 . 甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发 球时甲得分的概率为 0.5 ，乙发球时甲得分的概率为 0.4 ，各球 的结果相互独立 . 在某局双方 10∶10 平后，甲先发球，两人又 打了 X 个球该局比赛结束 . ① 求 P ( X ＝ 2) ； ② 求事件“ X ＝ 4 且甲获胜”的概率 . 解： ① X ＝ 2 就是 10∶10 平后，两人又打了 2 个球该局比 赛结束， 则这 2 个球均由甲得分，或者均由乙得分 . 因此 P ( X ＝ 2) ＝ 0.5×0.4 ＋ (1 － 0.5)×(1 － 0.4) ＝ 0.5. ② X ＝ 4 且甲获胜，就是 10∶10 平后，两人又打了 4 个球 该局比赛结束， 且这 4 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1 分，后 两球均为甲得分 . 因此所求概率为 [0.5×(1 － 0.4) ＋ (1 － 0.5)×0.4]×0.5×0.4 ＝ 0.1. (3) 现有 7 名亚运会志愿者，其中志愿者 A 1 ， A 2 ， A 3 通晓日 语， B 1 ， B 2 通晓韩语， C 1 ， C 2 通晓印度语 . 从中选出通晓日语、 韩语和印度语的志愿者各 1 名，组成一个小组 . ① 求 A 1 恰被选中 的概率； ② 求 B 1 和 C 1 不全被选中的概率 . 解： ①从 7 人中选出日语、韩语和印度语志愿者各 1 名， 所有可能的结果组成的基本事件有： ( A 1 ， B 1 ， C 1 ) ， ( A 1 ， B 1 ， C 2 ) ， ( A 1 ， B 2 ， C 1 ) ， ( A 1 ， B 2 ， C 2 ) ， ( A 2 ， B 1 ， C 1 ) ， ( A 2 ， B 1 ， C 2 ) ， ( A 2 ， B 2 ， C 1 ) ， ( A 2 ， B 2 ， C 2 ) ， ( A 3 ， B 1 ， C 1 ) ， ( A 3 ， B 1 ， C 2 ) ， ( A 3 ， B 2 ， C 1 ) ， ( A 3 ， B 2 ， C 2 ) ，共 12 个 . 由于每一个基本事件被抽取的 机会均等，因此这些基本事 件的发生是等可能的 . 用 M 表示“ A 1 恰被选中”这一事件， 事件 M 包含以下 4 个基本事件： ( A 1 ， B 1 ， C 1 ) ， ( A 1 ， B 1 ， C 2 ) ， ( A 1 ， B 2 ， C 1 ) ， ( A 1 ， B 2 ， C 2 ) ， 【 规律方法 】 求复杂的互斥事件的概率的两种方法： (1) 直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此 互斥的 事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算 . (2) 间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) ，即运用逆向思维 ( 正难则反 ). 特别是“ 至多 ”“至 少” 型题目，用间接求法就显得较简便 . 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及 以上 顾客数 / 人 x 30 25 y 10 结算时间 /( 分 / 人 ) 1 1.5 2 2.5 3 易错、易混、易漏 ⊙ 正难则反求互斥事件的概率 例题：某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安 排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数 据，如下表所示 . 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1) 确定 x ， y 的值，并估计顾客一次购物的结算 时间的平均 值； (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概 率 .( 将频率视为概率 ) 思维点拨： 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事 件包含的基本事件少，则可用 “ 正难则反 ” 思想求解 . 解： (1) 由已知，得 25 ＋ y ＋ 10 ＝ 55 ， x ＋ 30 ＝ 45 ， ∴ x ＝ 15 ， y ＝ 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收 集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用 样本平均数估计，其估计值为： 1×15 ＋ 1.5×30 ＋ 2×25 ＋ 2.5×20 ＋ 3×10 100 ＝ 1.9( 分钟 ). 【 易错提示 】 (1) 对统计表的信息不理解，错求 x ， y ，难以 用样本平均数估计总体 . (2) 不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或 对立事 件，导致计算错误 . 1. 互斥事件与对立事件的概念问题，对立事件一定是互斥 事件，互斥事件不一定是对立事件，即对立事件是特殊的互斥 事件 . 当含有“至多”“至少”等字眼时，可考虑间接法求解 . 2. 从集合角度理解互斥和对立事件：从集合的角度看，几 个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼 此 的交集为空集，事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合， 是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 .