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- 2021-04-28 发布
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烈面中学2019/2020学年度(上)高一期中考试
数 学 试 卷
一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分. 在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则集合的元素个数是（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集的概念和运算，求得两个集合的并集，由此求得元素的个数.
详解】依题意可知，共有个元素.
故选C.
【点睛】本小题主要考查并集的概念和运算，属于基础题.
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在数轴上作出集合与，根据交集的定义可得出集合.
【详解】由题意，在数轴上作出集合、，如图所示：
由图象可知，，故选B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题.
3.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据偶次方根被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域.
【详解】依题意，解得，故函数的定义域为.
故选B.
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
4.下列函数中，是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数的奇偶性，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，为奇函数；
对于B选项，令，函数的定义域为，，故函数为偶函数，符合题意；
对于C选项，函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数；
对于D选项，令，函数的定义域为，且，故函数为奇函数.
故选B.
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性判断，属于基础题.
5.若函数的图象是连续不断的，且，，，则加上下列哪个条件可确定有唯一零点（ ）
A. B.
C. 函数在定义域内为增函数 D. 函数在定义域内为减函数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理和单调性结合判断选项.
【详解】由可知
在区间内必存在函数的零点，若函数单调，则必有唯一零点，
因为，函数只能是单调递减函数.
故选：D
【点睛】本题考查零点存在性定理和使函数有唯一零点的条件，意在考查有关零点的概念，属于基础题型.
6.若，则，，之间的大小关系为 ( )
A. << B. << C. << D. <<
【答案】D
【解析】
试题分析：可用特殊值法；当时，，，，所以．
考点:函数单调性的应用．
7.数的单调递增区间为（ ）
A. （－∞，1） B. （2，+∞） C. （－∞，） D. （，+∞）
【答案】A
【解析】
试题分析：由得：，
令，因为，所以的单调递增区间为（－∞，1）．
考点：复合函数的单调性．
点评：判断复合函数的单调性，只需要满足四个字：同增异减，但一定要注意先求函数的定义域．本题易错的地方是：忘记求定义域而导致选错误答案C．
8.随着我国经济的不断发展，2014年，年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年的年平均增长率增长，那么2021年，年底该地区的农民人均年收入为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，依次写出2015年，2016年的人均收入，会发现规律，得到答案.
【详解】2014年，人均收入为3000元，
2015年，人均收入为 ，
2016年，人均收入为 ，
…………
2021年，人均收入为.
故选：B
【点睛】本题考查增长模型的实际应用，意在考查抽象概括和计算能力，属于基础题型.
9.函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理验证，结合函数的单调性判断函数零点所在区间.
【详解】由于，，，且函数在上为增函数，所以零点所在区间为.
故选B.
【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.
10.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知H随着时间的变量率应是增大，根据图象判断得到答案.
【详解】法一：因为圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以单位时间内落入圆柱中液体的体积相等，根据圆柱的形状上宽下窄可知，若单位时间内液体体积相等，则单位时间内液体下落的距离的变化率增大.
故选：A
法二：取特殊值时，下落的液体体积应是总量的一半，此时的值应不到一半，根据选项判断只有A是不到一半.
故选：A
【点睛】本题考查图象的实际应用，意在考查分析图象的能力，属于基础题型.
11.函数的最大值是：（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将原式子变形，分母配方得到进而得到最值.
【详解】
故函数的最大值为：.
故答案为A.
【点睛】本题考查了函数最值的求法，即需要求函数的值域，高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．
12.设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用，求得的值，然后结合图像，求得解得个数.
【详解】依题意，解得，所以，画出函数图像和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故有个解.
故选C.
【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查方程的解与函数图像交点的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题：本大题4小题， 每小题5分， 共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上.
13.若，，则函数的图象一定过点____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据求得函数图像上的定点.
【详解】当时，，此时，故函数图像过定点.
故答案为.
【点睛】本小题主要考查指数型函数图像过定点问题，属于基础题.
14.已知幂函数的图象过点，则_____________．
【答案】（填亦可）
【解析】
【分析】
设出幂函数解析式，根据点求得幂函数的解析式.
【详解】由于为幂函数，设，将代入得，所以.
故答案为（填亦可）
【点睛】本小题主要考查幂函数解析式求法，属于基础题.
15.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则____________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性对所求表达式进行化简，由此求得表达式的值.
【详解】由于函数是定义在上的奇函数，故
.
故答案为.
【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题.
16.已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
根据判断出函数在上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】由于对任意的，时，都有，所以函数在上为增函数，所以，解得.
故答案为.
【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.
三、解答题：本大题有6小题， 共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.全集，若集合，．
（1）,；
（2）若集合，，求的取值范围．
【答案】（1）,或；（2）
【解析】
【分析】
（1）解一元二次不等式求得集合，根据并集、交集和补集的概念和运算，求得所求.
（2）根据子集的概念列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）由解得.
故，或，或，所以或.
（2）由于，所以，故的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算，考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查一元二次不等式，属于基础题.
18.计算：（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析】
（1）根据对数运算法则计算结果；
（2）根据分数指数幂的运算公式计算结果.
【详解】（1）原式
.
（2）
.
【点睛】本题考查对数和分数指数幂的运算法则，意在考查转化与化简和计算能力，属于基础题型.
19.已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若求的值.
【答案】（1）（2）1
【解析】
【分析】
(1)由偶次根式的被开方大于等于0,列式解不等式可得;
(2)联立方程组成方程组可解得.
【详解】(1)由，得,函数的定义域为.
(2)依题意有即，
故，解得.
【点睛】本题考查了函数定义域的求法,属于基础题.
20.已知函数f(x)＝2x－.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)用单调性的定义证明函数f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．
【答案】(1)函数f(x)＝2x－是奇函数．
证明如下：易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
因为f(－x)＝2(－x)－＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，x1x2>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．
【解析】
【分析】
（1）由定义判断与的关系，即可判断函数奇偶性；
（2）由定义证明单调性，假设定义域内的两自变量的值，作差求的符号，进而判断单调性.
【详解】(1)函数f(x)＝2x－是奇函数．
证明如下：易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
因为f(－x)＝2(－x)－＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，x1x2>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断与单调性的证明，在解答题中证明函数的奇偶性，只能利用奇偶性的定义，在解答题中证明函数的单调性也要用定义证明，在选择题填空题中可由函数图像进行简单的判断.
21.已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若，求的值；
（3）求证：当时，.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用真数大于零列出不等式组，其解为，它是函数的定义域.（2）把方程化为后得到，故.（3）分别计算就能得到.
解析：（1）由，得函数的定义域为.
（2），即，∴，∴且，∴.
（3）∵，，
∴时，，
又∵，
∴.
22.已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程，有解，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
【分析】
（1）设出的解析式，根据点求得的解析式.根据为奇函数，求得解析式.
（2）根据的单调性和值域，求得的取值范围.
（3）证得的单调性，结合的奇偶性化简不等式，得到对任意的，，利用二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】（1）设(，且)，则，
所以 (舍去)或，
所以，．
又为奇函数，且定义域为R，
所以，即，所以，
所以．
（2）由于为上减函数，由于，所以，所以，所以.
（3）设，
则．
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以函数在R上单调递减．
要使对任意的，
恒成立，
即对任意的，
恒成立．
因为为奇函数，
所以恒成立．
又因为函数在R上单调递减，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立．
令，，
时，成立；
时，
所以，．
，，无解．
综上，．
【点睛】本小题主要考查指数函数解析式的求法，考查分式型函数值域的求法，考查利用函数的奇偶性和单调性解函数不等式，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，综合性较强，属于难题.