2018-2019学年河北省邯郸大名一中高二5月月考（清北组）数学（理）试题（解析版） 19页

‎ 河北省邯郸大名一中2018-2019学年高二5月月考（清北组）数学（理）试题 命题范围：选修2-1,2-2‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数 （ ）‎ A．4 B．5 C． D．‎ ‎2．已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：‎ ‎①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.‎ 其中正确结论的序号是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎3．下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎（1）命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”；（2）对于命题：“，使得”，则：“，均有”；（3）“”是“”的充分不必要条件；（4）若为假命题，则均为假命题.‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎4．若双曲线的一条渐近线与过其右焦点的直线平行，则该双曲线的实轴长为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知命题,那么命题为 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知命题p：，则为( )‎ A. B．‎ C． D．‎ ‎8．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是 A．假设a，b，c都小于0‎ B．假设a，b，c都大于0‎ C．假设a，b，c中至多有一个大于0‎ D．假设a，b，c中都不大于0‎ ‎9．如图阴影部分的面积是(　　)‎ A．e＋ B．e＋－1 C．e＋－2 D．e－‎ ‎10．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即 ‎）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l可以多次出现），则n的所有不同值的个数为 A．4 B．6 C．8 D．32‎ ‎11．已知直线与曲线相切，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数的图象在点处的切线方程为　‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）‎ ‎13．设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为 ‎ ‎14．已知复数满足（其中为虚数单位），则 .‎ ‎15．下列命题中，真命题有_______（写出所有真命题的序号）‎ ‎（1）在中，“”是“”的充要条件；‎ ‎（2）点为函数的一个对称中心；‎ ‎（3）若，向量与向量的夹角为°，则在向量上的投影为；‎ ‎（4）．‎ ‎16．复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为______．‎ 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．动圆过定点，且与直线相切，其中.设圆心的轨迹的程为 ‎（1）求；‎ ‎（2）曲线上的一定点(0) ，方向向量的直线（不过P点）与曲线交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为，，计算；‎ ‎（3）曲线上的两个定点、，分别过点作倾斜角互补的两条直线分别与曲线交于两点，求证直线的斜率为定值；‎ ‎18．若函数．当时，函数取得极值．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．‎ ‎19．有一块圆心角为120度，半径为的扇形钢板(为弧的中点)，现要将其裁剪成一个五边形磨具，其下部为等腰三角形，上部为矩形.设五边形的面积为.‎ ‎（1）写出关于的函数表达式，并写出的取值范围；‎ ‎（2）当取得最大值时，求的值.‎ ‎20．‎ 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为k的直线交椭圆于A，B两点，求△OAB面积的最大值．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，判断的单调性；‎ ‎（2）若在上为单调增函数，求实数 的取值范围.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，比较与的大小，并证明；‎ ‎（2）令函数，若是函数的极大值点，求的取值范围.‎ 试题答案 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．C ‎【解析】分析：由已知中的不等式，归纳推理得：，进而根据，求出值，进而得到的值.‎ 详解：由已知中：时，，，归纳推理得：，若，则，即，此时，故选C.‎ 点睛：本题主要考查归纳推理，归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎2．C ‎【解析】‎ ‎∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc.‎ ‎∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.‎ 依题意有，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图象与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)＜0，‎ 即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)＜0，‎ ‎∴0＜abc＜4，∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③是对的，应选C.‎ ‎3．C ‎【解析】对于（1）,命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”,故正确;对于（2）, 命题：“，使得”，则：“，均有”,故正确；对于（3）,由“”得 且 ，则必要性成立，当 时，满足 ，但 ，即充分性不成立，即“”是“”的必要不充分条件，故错误;对于（4）,若为假命题，则中至少有一个为假命题,故错误;综上可知选C.‎ ‎4．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵双曲线的一条渐近线与过其右焦点的直线平行，‎ ‎∴，，，，∴.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎5．A ‎【解析】∵在上为增函数 ‎∴在上恒成立，等价于在上恒成立 令，则 ‎∴令，得，即在上为单调增函数 令，得，即在上为单调减函数 ‎∴‎ ‎∴，即 故选A 点睛：本题考查函数单调性的性质，解答本题的关键是正确求出函数的单调性，根据题设条件转化到不等式恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔ ， 恒成立⇔ .‎ ‎6．D ‎【解析】全称命题的否定是特称命题,要否定结论,故选D.‎ ‎7．C ‎【解析】‎ 试题分析：据命题否定的规则，对命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”进行否定，注意任意对应的否定词为存在；解：根据全称命题的否定是特称命题可知：的否定为∃,故选C 考点：命题的否定 点评：主要考查命题的否定及其书写规则，此题是一道基础题，要注意对任意的否定是存在 ‎8．D ‎【解析】分析：根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立，根据要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，从而得出结论.‎ 详解：用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”.‎ 故选：D.‎ 点睛：用反证法证明命题的基本步骤 ‎(1)反设，设要证明的结论的反面成立．‎ ‎(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾．‎ ‎(3)否定反设，得出原命题结论成立．‎ ‎9．C ‎【解析】‎ 试题分析：阴影部分的面积为.‎ 考点：定积分的应用.‎ ‎10．B ‎【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解的所有可能的取值. ‎ 详解：如果正整数按照上述规则施行变换后第八项为1，‎ 则变换中的第7项一定为2，‎ 变换中的第6项一定为4，‎ 变换中的第5项可能为1，也可能是8，‎ 变换中的第4项可能是2，也可能是16，‎ 变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，‎ 变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，‎ 则的所有可能的取值为，共6个，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题. ‎ ‎11．D ‎【解析】‎ 试题分析：设切点 ，则，因为直线与曲线相切，所以，进而，故选D.‎ 考点：利用导数研究曲线的切线方程.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及方程 ，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点求斜率,即求该点处的导数；（2）己知斜率求切点即解方程；（3）已知切线过某点（不是切点） 求切点, 设出切点利用.‎ ‎12．C ‎【解析】‎ f′(x)＝，则f′(1)＝1，‎ 故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.‎ 故选：C 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）‎ ‎13．‎ ‎【解析】略 ‎14．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：可以进行复数的运算；或直接对等式两边求模：，.‎ 考点：复数的除法运算和模的计算.‎ ‎15．（1）（2）（4）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在中，“”是“”的充要条件，由三角内角和定理可知，为真命题；（2）点为函数的一个对称中心；的对称中心为，，故点为函数的一个对称中心，为真命题；（3）若，向量与向量的夹角为°，则在向量上的投影为；因为在向量上的投影为，为假命题；（4），函数有零点，因为，它的最小值为，所以对，函数与轴必有交点，即函数有零点，故为真命题．‎ 考点：命题真假判断．‎ ‎16．-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴复数z的虚部为-1．‎ 故答案为：-1．‎ 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（1）‎ ‎（2）0（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：，即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线， 2分 其中为焦点，为准线，所以轨迹方 程为； 4分 ‎（2）证明：设 A()、B() ‎ 过不过点P的直线方程为 5分 由得 6分 则， 7分 ‎== 8分 ‎==0. 10分 ‎（3）设，‎ ‎== 12分 设的直线方程为为与曲线的交点 由 ，的两根为 ‎ 则 14分 同理，得 15分 代入（***）计算 17分 ‎ 18分 考点：直线与抛物线的位置关系的运用 点评：解决的关键是能利用直线方程与抛物线方程建立方程组，结合韦达定理和斜率公式来的饿到求解，属于中档题。‎ ‎18．(1);(2)‎ ‎【解析】试题分析：(1)首先根据已知条件说明两个问题，一是，二是，然后列方程最求解；‎ ‎（2）根据（1）所求的函数解析式，对函数求导，然后求函数的极值点，并判断两侧的单调性，最后将有三个解转化为与函数由3个不同的交点，通过图像的分析，值应在极大值与极小值之间.‎ 试题解析：(1),所以,.‎ 即,由此可解得,‎ ‎(2),‎ 所以在处取得极大值,在处取得极小值 所以 考点：本题考查了极值的概念及运用 ‎【方法点睛】求函数的极值的步骤 ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求函数的导数，令，求方程的所有实数根；‎ ‎（3）考察在各实数根左、右的值的符号：‎ ‎①如果在x0两侧符号相同，则不是的极值点；②如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；③如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．‎ ‎19．(1) S＝R2sinα（4cosα－1）（0＜α＜）(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据直角三角形解得矩形的长与宽以及等腰三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式求结果，最后根据实际意义确定的取值范围；(2)利用导数求函数最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设OP与CD、AB交于M，N两点，‎ 为弧的中点，则M为CD中点，OP⊥AB，‎ OM＝OCcosα＝Rcosα，CM＝OCsinα=Rsinα，则EF＝CD＝2CM＝2Rsinα ‎∠POB＝∠AOB＝60°，∠OBN＝30°，‎ 所以，ON＝OB＝R，‎ CF＝MN＝OM－ON＝Rcosα－R 所以，S＝CD•CF+EF•ON＝2Rsinα×（Rcosα－R）+×2Rsinα×R ‎　　　　＝R2sinα（4cosα－1）（0＜α＜）‎ ‎（2）设f（α）＝sinα（4cosα－1），则 ‎＝＝0‎ 因为0＜α＜，所以，‎ 由表可知，当S取得最大值时，‎ ‎【点睛】‎ 利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.‎ ‎20．（Ⅰ）；（Ⅱ）4．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（Ⅱ）直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线与曲线联立，以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|根据韦达定理，弦长公式将三角形面积用 ， 表示，换元求最值即可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得， ， 解得， ， ‎ 椭圆的方程是. ‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ 将y＝kx＋m代入椭圆的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，Z 由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，① ‎ ‎ 则有x1＋x2＝－，x1x2＝. ‎ 所以|x1－x2|＝. ‎ 因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，‎ 所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|‎ ‎＝＝＝ ‎ 设＝t，由①可知0＜t＜4，‎ 因此S＝2＝2，故S≤4，‎ 当且仅当t＝2时取得最大值4.‎ 所以△OAB面积的最大值为4. ‎ ‎21．（1）在上为增函数；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，对函数求导后因式分解，根据导数与单调性的知识可写出函数的单调区间.（2）当时，可判断函数导数恒为非负数，函数递增符合题意.当和时，利用函数的二阶导数判断出不符合题意.故.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)当时， ，所以在上为减函数，在 上为增函数，即，从而可得： 在定义域 上为增函数.‎ ‎(2) ①当时，由于，所以满足在 上为单调增函数，即；‎ ‎②当时， ，由方程的判别式： ，所以方程有两根，且由知， 在上为减函数，由可知，在时， ，这与 在上为单调增函数相矛盾. ③ 当时， ， 在上为减函数，由可知，在时， ，这与 在上为单调增函数也是相矛盾. 综上所述：实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查导数与单调性的求解，考查利用导数解决已知函数在某个区间上递增求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法.第一问已知的值，利用导数求函数的单调区间，其基本步骤是：求函数导数、对导数进行通分因式分解、画出导函数图像、画出原函数图像，最后根据图像来研究题目所求的问题.第二问由于一阶导数无法解决问题，故考虑用二阶导数来解决.‎ ‎22.（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，令，求导判断单调性即可求解；（2） ，令 ‎，讨论m的范围即可求解 ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，令 则 所以函数在上单调递减，且 所以当时，，即；‎ 当时，，即 当时，，即.‎ ‎（2） ，令 令，则 ‎① 当时，恒成立，‎ 所以在上递减，且 所以时，在上递增，时，在上递减，此时是函数的极大值点，满足题意.‎ ‎② 当时，，使得当时，‎ 所以在上递增，且 所以时，在上递减；时，在上递增，此时是函数的极小值点，不合题意.‎ 综合得，解得.‎