2017高中数学考点15正弦定理和余弦定理含高考试题新人教A版 5页

考点15 正弦定理和余弦定理 一、 选择题 ‎1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=　(　　)‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【解析】选D.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,‎ 得=b2+22-2b×2×cosA,即3b2-8b-3=0,‎ 解得b=- (舍)或b=3.‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=　(　　)‎ A. B. C.- D.- ‎ ‎【解题指南】根据正弦定理求解.‎ ‎【解析】选C.设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,‎ 则由题意得S△ABC=a·a=acsin B.∴c=a.‎ 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+a2-2×a×a×=a2.∴b=a.‎ ‎∴cosA=.‎ ‎3.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T9)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】根据正弦定理求解.‎ ‎【解析】选D.设BC边上的高为AD,且AD=m,因为B=,则BD=m,AB=m,又因为AD=BC,所以DC=‎2m,AC=m,由正弦定理得sin∠BAC=.‎ ‎4.(2016·山东高考文科·T8)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】变形后,利用余弦定理巧妙求解.‎ ‎【解析】选C.由题意1-sinA=,‎ 所以sinA=1-==cosA,‎ 所以A=.‎ ‎5.(2016·天津高考理科·T3)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4‎ ‎【解题指南】利用余弦定理得出∠C与三边的关系,然后求解.‎ ‎【解析】选A.设AC=x,‎ 由余弦定理得:cosC=,得x2+3x-4=0.‎ 解得x=1或-4(舍),所以AC=1.‎ 一、 填空题 ‎6.(2016·全国卷Ⅱ文科·T15)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=　　　　.‎ ‎【解题指南】已知cosA,cosC,可求sinB,又a=1,可利用正弦定理求解.‎ ‎【解析】因为cosA=,cosC=,‎ 所以sinA=,sinC=,‎ sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,‎ 由正弦定理得,解得b=.‎ 答案:‎ ‎7.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.‎ ‎(1)求C.‎ ‎(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.‎ ‎【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,‎ 由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,‎ ‎2cosC·sin(A+B)=sinC.‎ 因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),‎ 所以sin(A+B)=sinC>0,‎ 所以2cosC=1,cosC=.‎ 因为C∈(0,π),‎ 所以C=.‎ ‎(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cosC,‎ ‎7=a2+b2-2ab·,‎ ‎(a+b)2-3ab=7,‎ S=ab·sinC=ab=,‎ 所以ab=6,‎ 所以(a+b)2-18=7,‎ a+b=5,‎ 所以△ABC的周长为a+b+c=5+.‎ ‎8.(2016·浙江高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.‎ ‎(1)证明:A=2B.‎ ‎(2)若cosB=,求cosC的值.‎ ‎【解题指南】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinΒ=sin(Α-Β),再判断Α-Β的取值范围,进而可证Α=2Β;(2)由cosB的值可以求出A的三角函数值,又由C=π-(A+B)的关系求cosC的值.‎ ‎【解析】(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,‎ 故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)‎ ‎=sinB+sinAcosB+cosAsinB,‎ 于是,sinB=sin(A-B),‎ 又A,B∈(0,π),故00,则sinA=,即=,由(1)可知=1,所以,所以tanB=4.‎ ‎11.(2016·天津高考文科·T15)(本小题满分13分)‎ 在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.‎ ‎(1)求B.‎ ‎(2)若cosA=,求sinC的值.‎ ‎【解题指南】(1)利用正弦定理实现边化角,化简得到cosB,结合B的范围得出B.‎ ‎(2)利用三角形内角和为π,将所求角化为两已知角的和,再根据两角和的正弦公式求解.‎ ‎【解析】(1)在△ABC中,由可得asinB=bsinA,又由asin2B=bsinA得2asinB·cosB=bsinA,整理得cosB=,因为B为△ABC的内角,所以B=.‎ ‎(2)在△ABC中,sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),由cosA=得sinA=,所以sinC=sin=sinA+cosA=.‎