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- 2021-04-27 发布
2018-2019学年度下学期高二下6月份考试卷
数学
命题人：关锋 校对人：于军
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上；第Ⅱ卷为主观题，按要求答在答题纸相应位置上。
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、 选择题（本大题共 12 小题每小题 5 分，计60 分）
1.已知随机变量服从正态分布 ，则（ ）
A. B. C. D.
2.用数学归纳法证明“”，则当时，应当在时对应的等式的左边加上（ ）
A. B. C. D.
3.由①安梦怡是高二(1)班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二(1)班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为( )
A.②①③ B.②③① C.①②③ D.③①②
4．函数的图象大致为（ ）
5.已知均为正实数，则下列三个数，，（ ）
A.都大于 B.至少有一个不大于 C.都小于 D.至少有一个不小于
6.若的二项展开式各项系数和为，为虚数单位，则复数的运算结果为（ ）
A. B. C. D.
7.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8.甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜 3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以获得比赛胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，
甲丙也相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.已知，若 ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1
4033 4031 4029…………11 9 7 5 3
8064 8060………………20 16 12 8
16124……………………36 28 20
………………………
A. B. C. D.
12. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13.已知复数z满足（1+2i）z=3+4i，则等于___________.
14.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
15.《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有_____________种.（用数字作答）
16.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现视为条件，若函数，则它的对称中心为__________；并计算__________．
三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。)
17. 已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.
18. 在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
（1） 写出曲线的普通方程;
（2） 若直线与曲线有两个不同的交点,求的取值范围.
19.高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
每周移动支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
10
8
7
3
2
15
女
5
4
6
4
6
30
合计
15
12
13
7
8
45
（1）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，按分层抽样的方法，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取6名用户
①求抽取的6名用户中，男女用户各多少人；
② 从这6名用户中抽取2人，求既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率.
（2）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，填写下表，问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
非移动支付活跃用户
移动支付活跃用户
合计
男
女
合计
20. 已经函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围.
21. 新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：
月份
2017.12
2018.01
2018.02
2018.03
2018.04
月份编号t
1
2
3
4
5
销量（万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量（万辆）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；
（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
补贴金额预期值区间（万元）
20
60
60
30
20
10
将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：
①回归方程，其中，，②，.
22. 已知函数.
（1）若，证明：当时，；
（2）若在有两个零点，求的取值范围.
答案
A C D B D C A B B A B C
2 36 (1). . (2). .
17. （1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
18. (1)由得.
将，代入上式中,
得曲线的普通方程为.
(2)将的参数方程 (为参数)代入的方程,
整理得 .
因为直线与曲线有两个不同的交点，
所以 ,化简得.
又,所以，且.
设方程的两根为,则，，
所以,
所以 .
由，得，
所以,从而 ，
即的取值范围是.
19.（1）① 男人：2人，女人：6-2=4人；
②既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率 .
（2）由表格数据可得列联表如下：
非移动支付活跃用户
移动支付活跃用户
合计
男
25
20
45
女
15
40
55
合计
40
60
100
将列联表中的数据代入公式计算得：
，
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.
20.（Ⅰ）在区间上，.
①若，则，是区间上的减函数；
②若，令得.
在区间上，，函数是减函数；
在区间 上，，函数是增函数；
综上所述，①当时，的递减区间是，无递增区间；
②当时，的递增区间是，递减区间是．
（II）因为函数在处取得极值，所以
解得，经检验满足题意．
由已知，则
令，则
易得在上递减，在上递增，
所以，即.
21.（1）易知，，
，，
则关于的线性回归方程为，
当时，，即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆.
（2）根据给定的频数表可知，任意抽取1名拟购买新能源汽车的消费者，对补贴金额的心理预期值不低于3万元的概率为，由题意可知～，的所有可能取值为0,1,2,3
的分布列为：
，
，
0
1
2
3
所以
22.（1）证明：当时，函数.则，
令，则，令，得.
当时，，当时，
在单调递增，
（2）解：在有两个零点方程在有两个根，
在有两个根，
即函数与的图像在有两个交点．，
当时，，在递增
当时，，在递增
所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．