高中人教a版数学必修4：第26课时 平面向量的应用举例 word版含解析 4页

第 26 课时 平面向量的应用举例 课时目标 1.体会向量是解决处理几何、物理问题的工具． 2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法． 识记强化 1．向量方法解决几何问题的“三步曲”． (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的减法与加法类似，可以用向量的 方法解决． 课时作业 一、选择题 1．已知点 A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是( ) A．A，B，C 三点共线 B.AB→⊥BC→ C．A，B，C 是等腰三角形的顶点 D．A，B，C 是钝角三角形的顶点 答案：D 解析：∵BC→＝(－2,0)，AC→＝(2,4)，∴BC→·AC→＝－4<0，∴∠C 是钝角． 2．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为 使物体保持平衡，再加上一个力 f4，则 f4＝( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 答案：D 解析：由物理知识知 f1＋f2＋f3＋f4＝0，故 f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)． 3．在四边形 ABCD 中，若AB→＝－CD→ ，AB→·BC→＝0，则四边形为( ) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 答案：D 解析：由AB→＝－CD→ 知四边形 ABCD 是平行四边形，又AB→·BC→＝0，∴AB→⊥BC→，∴此四 边形为菱形． 4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A．10 m/s B．2 26 m/s C．4 6 m/s D．12 m/s 答案：B 解析：设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则|v1|＝2， |v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝ v2－2v·v1＋v21＝2 26(m/s)． 5．人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( ) A．v1－v2 B．v2－v1 C．v1＋v2 D．|v1|－|v2| 答案：C 解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为 v1 ＋v2，故选 C. 6．点 O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＝0； ②OA→ · AC→ |AC→| － AB→ |AB→| ＝OB→ · BC→ |BC→| － BA→ |BA→| ＝0； ③(OA→ ＋OB→ )·AB→＝(OB→ ＋OC→ )·BC→＝0. 则点 O 依次为△ABC 的( ) A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心 答案：C 解析：①由于OA→ ＝－(OB→ ＋OC→ )＝－2OD→ ，其中 D 为 BC 的中点，可知 O 为 BC 边上中 线的三等分点(靠近线段 BC)，所以 O 为△ABC 的重心； ②向量 AC→ |AC→| ， AB→ |AB→| 分别表示在 AC 和 AB 上取单位向量AC′→ 和AB′→ ，它们的差是向量 B′C′→ ，当OA→ · AC→ |AC→| － AB→ |AB→| ＝0，即 OA⊥B′C′时，则点 O 在∠BAC 的平分线上，同理由 OB→ · BC→ |BC→| － BA→ |BA→| ＝0，知点 O 在∠ABC 的平分线上，故 O 为△ABC 的内心； ③OA→ ＋OB→ 是以OA→ ，OB→ 为边的平行四边形的一条对角线，而AB→是该四边形的另一条对 角线，AB→·(OA→ ＋OB→ )＝0 表示这个平行四边形是菱形，即|OA→ |＝|OB→ |，同理有|OB→ |＝|OC→ |，于 是 O 为△ABC 的外心． 二、填空题 7．已知两个粒子 A、B 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 va＝(4,3)， vb＝(3,4)，则 va 在 vb 上的投影为________． 答案：24 5 解析：由题知 va 与 vb 的夹角θ的余弦值为 cosθ＝12＋1`2 5×5 ＝24 25. ∴va 在 vb 上的投影为|va|cosθ＝5×24 25 ＝24 5 . 8．已知点 A(0,0)，B( 3，0)，C(0,1)．设 AD⊥BC 于 D，那么有CD→ ＝λCB→，其中λ＝________. 答案：1 4 解析：如图|AB→|＝ 3，|AC→|＝1，|CB→|＝2，由于 AD⊥BC，且CD→ ＝λCB→，所以 C、D、B 三点共线，所以|CD→ | |CB→| ＝1 4 ，即λ＝1 4. 9．在四边形 ABCD 中，已知AB→＝(4，－2)，AC→ ＝(7,4)，AD→ ＝(3,6)，则四边形 ABCD 的面积是________． 答案：30 解析：BC→＝AC→－AB→＝(3,6)＝AD→ ，∵AB→·BC→＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB→⊥BC→，∴四边形 ABCD 为矩形，|AB→|＝ 20，|BC→|＝ 45，∴S＝|AB→|·|BC→|＝30. 三、解答题 10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN＝1 3BD，求 证：M，N，C 三点共线． 证明：依题意，得BM→ ＝1 2BA→，BN→＝1 3BD→ ＝ 1 3(BA→＋BC→)． ∵MN→ ＝BN→－BM→ ，∴MN→ ＝1 3BC→－1 6BA→. ∵MC→ ＝BC→－BM→ ＝BC→－1 2BA→， ∴MC→ ＝3MN→ ，即MC→ ∥MN→ . 又MC→ ，MN→ 有公共点 M，∴M，N，C 三点共线． 11．两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i, j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求： (1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功． 解：AB→＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·AB→ ＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28； F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·AB→ ＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 做的功 W＝F·s＝F·AB→ ＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5. 能力提升 12．如图，作用于同一点 O 的三个力F1 →、F2 →、F3 →处于平衡状态，已知|F1 →|＝1，|F2 →|＝2，F1 → 与F2 →的夹角为2π 3 ，则F3 →的大小________． 答案： 3 解析：∵F1 →、F2 →、F3 →三个力处于平衡状态， ∴F1 →＋F2 →＋F3 →＝0 即F3 →＝－(F1 →＋F2 →)， ∴|F3 →|＝|F1 →＋F2 →|＝ F1 →＋F2 →2 ＝ F21 →＋2F1 →·F2 →＋F22 → ＝ 1＋2×1×2×cos2π 3 ＋4＝ 3. 13．已知 A(2,1)、B(3,2)、D(－1,4)． (1)求证：AB→⊥AD→ ； (2)若四边形 ABCD 为矩形，试确定点 C 的坐标，并求该矩形两条对角线所成的锐角的 余弦值． 解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， ∴AB→＝(1,1)，AD→ ＝(－3,3)． 又∵AB→·AD→ ＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB→⊥AD→ . (2)∵四边形 ABCD 为矩形，且 AB⊥AD， ∴AD→ ＝BC→. 设 C(x，y)，则(－3,3)＝(x－3，y－2)， －3＝x－3 3＝y－2 ，∴ x＝0， y＝5. ∴点 C(0,5)． 又∵AC→＝(－2,4)，BD→ ＝(－4,2)， ∴AC→·BD→ ＝(－2)×(－4)＋4×2＝16. 而|AC→|＝ －22＋42＝2 5，|BD→ |＝ －42＋22＝2 5， 设AC→与BD→ 的夹角为θ，则 cosθ＝ AC→·BD→ |AC→||BD→ | ＝ 16 2 5×2 5 ＝4 5 ∴该矩形两条对角线所成锐角的余弦值为4 5.