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- 2021-04-27 发布
福建省莆田第九中学2017-2018学年高二上学期期中考试
数学试题（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数列的通项公式，则数列各项中最小项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
2．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）
A．-4 B．-6 C．-8 D．-10
3．已知如下图程序框图，则输出的是（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
4．若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项和等于（ ）
A． B． C． D．
6．下列结论，不正确的是（ ）
A．若是假命题，是真命题，则命题为真命题.
B．若是真命题，则命题和均为真命题.
C．命题“若，则”的逆命题为假命题.
D．命题“，”的否定是“，”.
7．设是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若变量满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
9．设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
10．方程有三个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是三角形的一个内角，且，则方程表示（ ）
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线
12．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是与在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知满足约束条件则的最大值为 ．
14．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为，，，，，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为 ．
15．椭圆内有一点过点的弦恰好以为中点，那么这弦所在直线方程为 ．
16．若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：
①若为椭圆，则； ②若为双曲线，则或；
③曲线不可能是圆； ④若表示椭圆，且长轴在轴上，则.
其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上）．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知命题，使得成立；命题：方程有两个不相等正实根；
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.
18．已知等差数列的前项和为，，且，，
求（1），
（2）设是数列的前项和，求.
19．已知，，函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知，且，求的值.
20．如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，.点是边的中点，点分别在线段上，且，.
（1）证明：；
（2）求直线与直线所成角的余弦值.
21．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点；若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
22．已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点，
（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；
（2）将表示为的函数，并求的最大值.
高二理科数学试题（参考答案）
一、选择题
1-5:BBCAC 6-10:CADD 11、12：BD
二、填空题
13．38 14．64 15． 16．②
三、解答题
17．解：（1），不恒成立.
由得.
（2）设方程两个不相等正实根为
命题为真
由命题“或”为真，且“且”为假，得命题一真一假
①当真假时，则得或
②当假真时，则无解；
∴实数的取值范围是或.
18．解：（1），
（2）由得当时，，当时，
则
即
19．解：（1）
.
∴函数的最小正周期为.
（2）由，得.∴.
∵，∴
∴，∴.
20．（1）证明：∵且点为的中点，∴，
又平面平面，且平面平面，平面，
∴平面，又平面
∴；
（2）如下图所示，连接，
∵，即，
∴，
∴为直线与直线所成角或其补角，
在中，，，
由余弦定理可得，
∴直线与直线所成角的余弦值为.
21．解：（1）设，∵点为弦中点即，
∴即，（且）
得，由，
得或
∴线段的中点的轨迹的方程为；
（2）由（1）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线过定点，
当直线与圆相切时，由得，
又，
结合下图可知当时，直线与曲线只有一个交点.
22．解：（1）由已知得，，
所以，
所以椭圆的焦点坐标为，
离心率为
（2）由题意知，，当时，切线的方程，
点的坐标分别为，，此时；
当时，同理可得；
当时，设切线的方程为，
由，得，
设两点的坐标分别为，
则，，
又由与圆相切，得，即，
所以
，
由于当时，，
，，
，且时，，
所以的最大值为2.