山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题数学试题 Word版含解析 25页

- 1 - 2020 年高考热身训练 数学试题 本试卷共 4 页，22 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在 答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解对数不等式得集合 ，再由交集定义求解． 【详解】由题意 ，∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数的性质，属于基础题． 2. 若双曲线 （ ， ）的一条渐近线过点 ，则其离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线渐近线 过 得到 a、b 数量关系，结合双曲线各参数的关系及离心率的 { }1,0,2,4M = − { }2log 2N x x= < M N = { }1,0,2,4− { }0,2,4 { }1,0,2− { }2 N { }2log 2 { | 0 4}N x x x x= < = < < {2}M N = 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( )1,2 5 5 2 3 by xa = ( )1,2 - 2 - 求值 【详解】由双曲线公式，其渐近线为 ∴由 ， 知：过点 的渐近线为 ，即 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线，结合双曲线的几何性质及各参数的关系求离心率 3. 已知函数 （ ），记 ， ， . 则 m，n，p 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先得出 ， ， ，再由函数 的单调性可得选项. 【 详 解 】 因 为 ， ， ， 所 以 ， 又 ， ，所以 单调递减，所以 ， 故选：C. 【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，以及由函数的单调性比较大小，属于中档题. 4. 设 i 为虚数单位， ，“复数 是纯虚数“是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B ce a = by xa = ± 0a > 0b > ( )1,2 by xa = 2b a = 2 2 5c a be a a += = = ( ) xf x a= 0 1a< < ( )3log 5m f= 1 21 3n f    =      2 1log 2p f  =    m n p> > n m p> > p n m> > p m n> > 3log 5>1 1 21 13   <   2 1log 12 = − ( )f x 3log 5>1 1 021 1 13 3    < =       1 2 2 1log log 2 12 −= = − 1 2 3 2 1 1log 5> >log3 2      ( ) xf x a= 0 1a< < ( ) xf x a= p n m> > a R∈ 2 2020i 2 1 i az = − − 1a = - 3 - 【解析】 【分析】 先化简 z，求出 a，再判断即可. 【详解】复数 是纯虚数， 则 ， ， 是 的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 5. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样的四 面体得到的（如图所示）.设石凳的体积为 ，正方体的体积为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设正方体的棱长为 2a，求出正方体的体积，再由正方体的体积减去 8 个三棱锥的体积得石凳 的体积，则答案可求． 【详解】设正方体的棱长为 2a，则正方体的体积 ． 由题意可得，石凳的体积为 V1＝8a3- ＝ ． ． 故选：C． ( )( ) 2 2020 2 2 2i 1 1 i 1 1i2 1 i 2 1 i 2 1 i 1 i 2 2 2 a a a az += − = − = − = − −− − − + 2 1a = 1a = ± 1a = ± 1a = 1V 2V 1 2 V V 1 3 2 3 5 6 7 8 3 2 2 2 2 8V a a a a= × × = 1 18 3 2 a a a× × × × × 320 3 a 3 1 3 2 20 53 8 6 aV V a ∴ = = - 4 - 【点睛】本题考查正方体与棱锥体积的求法，属于基础题． 6. 函数 的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据函数为奇函数排除 D,再根据函数在 上的符号排除 A,B，进而得答案. 【详解】解：函数的定义域为 ， ， 所以函数为奇函数，故排除 D， 因为 ， 在 上成立， 在 上成立， 故函数 在 上有 ，在 上有 ， 所以排除 A,B，故 C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查用解析式研究函数的性质，是中档 题. 7. 某产品的广告费用 与销售额 的统计数据如下表： 广告费用 （万元） 销售额 （万元） 根据上表可得回归直线方程为 ，下列说法正确的是（ ） ( ) ( )sin ln x xf x x e e−= ⋅ + [ ] [ ]0, , ,2π π π R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin ln sin lnx x x xf x x e e x e e f x− − − = − ⋅ + = − ⋅ + = −  ( )ln ln 2 0x xe e−+ ≥ > sin 0x > ( )0,π sin 0x < ( ),2π π ( )f x ( )0,π ( ) 0f x > ( ),2π π ( ) 0f x < x y x 2 3 4 5 6 y 19 25 34 38 44  6.3y x a= + - 5 - A. 回归直线 必经过样本点 、 B. 这组数据的样本中心点 未必在回归直线 上 C. 回归系数 的含义是广告费用每增加 万元，销售额实际增加 万元 D. 据此模型预报广告费用为 万元时销售额为 万元 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出样本中心点 的坐标，代入回归直线方程，求出 的值，进而可判断各选项的正误. 【详解】由表格中的数据可得 ， ， 将点 的坐标代入回归直线方程得 ，解得 ， 所以回归直线方程为 . 对于 A 选项，当 时， ，A 选项错误； 对于 B 选项，这组数据的样本中心点 必在回归直线 上，B 选项错误； 对于 C 选项，回归系数 的含义是广告费用每增加 万元，销售额约增加 万元，C 选项 错误； 对于 D 选项，当 时， ， 所以，据此模型预报广告费用为 万元时销售额为 万元，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查回归直线方程的应用，要注意回归直线过样本的中心点这一结论的应用， 考查计算能力，属于基础题. 8. 已知等差数列 ，公差不为 0，若函数 对任意自变量 x 都有 恒成立， 函数 在 上单调，若 ，则 的前 500 项的和为（ ） A. 1010 B. 1000 C. 2000 D. 2020 【答案】B 【解析】 【分析】  6.3y x a= + ( )2,19 ( )6,44 ( ),x y  6.3y x a= + 6.3 1 6.3 7 50.9 ( ),x y a 2 3 4 5 6 45x + + + += = 19 25 34 38 44 325y + + + += = ( ),x y 6.3 4 32a× + =  6.8a =  6.3 6.8y x= + 2x =  6.3 2 6.8 19.4y = × + = ( ),x y  6.3y x a= + 6.3 1 6.3 7x =  6.3 7 6.8 50.9y = × + = 7 50.9 { }na ( )f x ( ) (4 )f x f x= − ( )f x [2, )+∞ 8 493( ) ( )f a f a= { }na - 6 - 由已知 得函数关于 对称，因为 ，则 ，再 由等差数列性质求得前 500 项的和. 【详解】 对任意自变量 x 都成立， 函数对称轴为 因为 ， ， 故选：B 【点睛】本题考查函数对称性及利用等差数列性质求和.属于基础题. 函数 对任意自变量 x 都有 ，则函数对称轴为 ， 为等差数列，若 ，则 ． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. 如图是 2018 年 10 月—2019 年 10 月中国钢铁同比增速及日均产量统计图，则下列陈述中 正确的是（ ） A. 2019 年 6 月同比增速最大 B. 2019 年 3 月—5 月同比增速平稳 C. 2019 年 10 月钢材总产量约 10264 万吨 D. 2019 年 8 月钢材总产量比 2019 年 9 月钢材总产量低 【答案】ABC 【解析】 ( ) (4 )f x f x= − 2x = 8 493( ) ( )f a f a= 8 493 4a a+ =  ( ) (4 )f x f x= − ∴ 2x = 8 493( ) ( )f a f a= ∴ 8 493 4a a+ = 1 500 500 1 500 8 493 500( ) 250( ) 250( ) 250 4 10002 a aS a a a a += = + = + = × = ( )f x ( ) (2 )f x f a x= - x a= { }na + +m n p q＝ + +m n p qa a a a＝ ( )*m n p q N∈， ， ， - 7 - 【分析】 从条形统计图和折线图观察产量、增速等的变化规律，判断各选项． 【详解】从折线图知 2019 年 6 月同比增速最大，A 正确； 2019 年 3 月—5 月同比增速平稳，B 正确； 从条形图知 2019 年 10 月钢材总产量为 331.1×31＝10264.1 万吨，C 正确； 2019 年 8 月钢材总产量为 万吨 2019 年 9 月钢材总产量为 万吨， 所以 2019 年 8 月钢材总产量超过 2019 年 9 月钢材总产量，D 错． 故选：ABC． 【点睛】本题考查统计图表，考查条形图与折线图，考查学生的数据处理能力，属于基础 题． 10. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边上的一点为 （ ），则下列各式一定为负值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 由终边上一点的坐标，根据 m 与 0 的大小关系分类讨论坐标所在象限，应用同角三角函数的 坐标表示，可得正、余弦及正切函数值，进而判断选项的正误 【详解】由题意知： (1)若 m > 0 时，有 ∴ (2)若 m < 0 时，有 343.2 31 10639.2× = 347.9 30 10437× = α ( )2 ,P m m− 0m ≠ sin cosα α tanα cos sinα α− cos2α 1 2 1sin ,cos ,tan 25 5 α α α= − = = − 2 3 3sin cos ,cos sin ,cos25 55 α α α α α= − − = = 1 2 1sin ,cos ,tan 25 5 α α α= = − = − - 8 - ∴ 综上，知：一定为负值的有 、 故答案为：AB 【点睛】本题考查了同角三角函数，根据已知角终边上一点结合分类讨论的方法确定各函数 值、应用二倍角余弦公式求值，最后判断由它们组成的三角函数的符号 11. 一圆柱形封闭容器内有一个棱长为 2 的正四面体，若该正四面体可以绕其中心在容器内任 意转动，则容器体积可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 先求出正四面体的外接球的半径，由该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则需该正 四面体的外接球在圆柱形的封闭容器内即可，计算圆柱形封闭容器的最小体积，可得出选项. 【详解】由已知得：要使该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则需该正四面体的外 接球在圆柱形的封闭容器内即可， 作出正四面体 与其外接球 的位置关系如下图所示， 是球的直径，与面 交 于点 ，连接 ， 则由正弦定理得 ，解得 ，又 ，所以由勾股定理得 ， 所以 ，即 ，所以 ，所以外接球 半径为 ， 所以圆柱形封闭容器的体积 ， 又因为 ， ， ，所以容器体积可以为 ， 的 2 3 3sin cos ,cos sin ,cos25 55 α α α α α= − − = − = tanα sin cosα α 2π 3 6 2 π 3 6 4 π 16 6 9 π S ABC− O SD ABC E ,CE CD 2 2sin 60 CE=  2 3 3CE = SE CE⊥ 2 2 2 2 2 3 2 62 3 3SE SC CE  = − = − =    2SA SE SD= ⋅ 2 2 6 32 SD= × 6SD = O 6 2 2 6 3 662 2V ππ  ≥ × × =    2 3 6 2 π π< 3 6 3 6 4 2 π π< 16 6 3 6>9 2 π π 3 6 2 π - 9 - . 故选：BD 【点睛】本题考查正四面体的外接球的体积计算，圆柱的体积计算，属于中档题. 12. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 C： 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜 率大于 0 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点（其中 A 在 B 的上方），过线段 的中点 M 且与 x 轴平行的直线依次交直线 ， ，l 于点 P，Q，N.则（ ） A. B. 若 P，Q 是线段 的三等分点，则直线 的斜率为 C. 若 P，Q 不是线段 的三等分点，则一定有 D. 若 P，Q 不是线段 的三等分点，则一定有 【答案】AB 【解析】 【分析】 设直线方程为 ， ，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得 ，从而可表示出 点坐标，然后求出 点坐标，判断各选项． 【 详 解 】 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 设 直 线 方 程 为 ， ， ， 由 得 ， ， ， 16 6 9 π xOy 2 4y x= AB OA OB PM NQ= MN AB 2 2 MN PQ OQ> MN NQ OQ> ( 1)y k x= − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 2,x x x x+ M , ,P Q N (1,0)F AB ( 1)y k x= − 0k > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 ( 1) 4 y k x y x = −  = 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 2 1 2 2 2 4kx x k ++ = 1 2 1=x x - 10 - ∴ ， ，直线 方程为 ， ∵ 共线，∴ ， ，同理 ， ， ， ∴ ，即 ，A 正确； 若 P，Q 不是线段 的三等分点，则 ， ， ，又 ， ， ∴ ，∴ ，解得 （∵ ），B 正确； 由 得 ， ， 1 2 2 212M x xx k += = + 2( 1)M My k x k = − = MN 2y k = , ,O P A 1 1 P Px y x y = 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 P P x y x y yx y ky ky k = = = = 2 2Q yx k = 1 2 2 2 2 M P Q y y yx x k k k ++ = = = 2 2 2 21 1M N P Qx x x xk k + = + − = = + M P Q Nx x x x− = − MP NQ= MN 1 3PQ MN= 1 2 2 2 1 2 1 21 ( 1) 22 3 3 y y k k k −    = + − − = +       2 1 2 4( 1) 3 ky y k +− = 1 2 42 My y y k + = = 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1) 4y y k x x k x x x x= − − = − − + = − 2 1 2 1 2 1 2 2 16( ) 4 16y y y y y y k − = + − = + 2 2 16 4( 1)16 3 k k k ++ = 2 2k = 0k > 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 2 2 2 2 2 1k kx k + ± += 2 2 2 2 2 2 1k kx k + − += - 11 - ∴ ， ，又 ， ∴ ， ， ∴ ， 当 时， ，C 错； 由图可知 ，而 ，只要 ，就有 ，D 错． 故选：AB． 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦的性质，通过确定直线与抛物线中的线段长考查学生的运 算求解能力，逻辑推理能力． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知函数 ，则函数 在 处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求函数 在 处的导数，再求函数值 ，利用点斜式求出方程即可. 【详解】由已知得 且 ， ， 则切线方程为 ，即 . 故答案 ： 【点睛】本题考查在曲线上某点处的切线方程的求法，属于简单题. 14. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果, 功不可没.“三药”分别为 金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺 败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种,则恰好选出 1 药 1 方的概率是_______. 为 2 2 2 2 2 1( 1) ky k x k − += − = 2 2 2 1 1 2Q y kx k k − += = 2 Q My y k = = 2 22 2 2 2 2 1 1 2 5 2 2 1k k kOQ k k k  − + + − + = + =        2 1 2 2 2 1 2 y y kPQ k k − += = 2 2 2 2 2 2 2 4 4 5 2 2 1 4(1 ) ( 1 1)( 1 3)k k k k kOQ PQ k k + − + − + + + + −− = = 2 2k > OQ PQ> 1NQ ≤ 2 QOQ y k ≥ = 0 2k< < 1OQ NQ> > ( ) 2ln 2 3f x x x x= + − ( )f x 1x = 2 3 0x y− − = ( )f x 1x = ( )1f ( ) 1 4 3f x xx +′ = − ( )1 =2f ′ ( )1 = 1f − ( ) ( )1 2 1y x− − = − 2 3 0x y− − = 2 3 0x y− − = - 12 - 【答案】 【解析】 【分析】 根据组合的方法结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从“三药三方”中随机选出 2 种共 个基本事件,其中 1 药 1 方的事件数有 个.故概率 P＝ . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用组合的方法解决随机事件的概率问题,属于基础题. 15. 如图,△ABC 为等边三角形,分别延长 BA,CB,AC 到点 D,E,F,使得 AD＝BE＝CF．若 ,且 DE＝ ,则 的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 设 AD＝x,再在△BDE 中根据余弦定理求解得出 ,再利用数量积公式求解 即可. 【详解】易知△DEF 也为等边三角形,设 AD＝x,则 BD＝3x, △BDE 中,由余弦定理得： ,解得 x＝1, 故 BD＝3,则 ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积以及余弦定理的运用,属于基础题. 16. 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为 ， 的两个同心圆的圆 3 5 2 6 15C = 1 1 3 3 9C C = 9 3 15 5 = 3 5 BA 2AD=  13 AF CE⋅  9 2 − 1x = AF CE⋅  ( ) ( )2 2 113 3 2 3 2x x x x  = + − × −   9AF CE 3 3 cos120 2 ⋅ = × × ° = −  9 2 − 1cm 2cm - 13 - 心，等腰 的顶点 A 在外圆上，底边 的两个端点都在内圆上，点 O，A 在直线 的同侧.若线段 与劣弧 所围成的弓形面积为 ， 与 的面积之和为 ，设 .当 时， ______ ；经研究发现当 的值最大时，纪念章 最美观，当纪念章最美观时， ______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 结合弓形面积公式及三角形的面积公式分别求出 S2，S1，即可求解 ；利用导数研究单 调性可求最值． 【详解】由题意可知，∠BOC＝2θ∈（0，π），故 ， S1＝ ＝θ﹣sinθcosθ＝ ， S2＝ sin2θ＝ sin2θ＝ 2sinθ， 当 时，S1＝ ，S2＝ ， 故 S2﹣S1＝ （cm2）， S2﹣S1＝2sinθ+ sin2θ﹣θ， ， 令 f（θ）＝2sinθ+ sin2θ﹣θ， ， ABC BC BC BC BC 1S OAB OAC 2S 2BOC θ∠ = 3 πθ = 2 1S S− = 2cm 2 1S S− cosθ = 5 3 4 3 π− 1 5 2 − + 2 1S S− 10, 2 θ π ∈   1 12 1 1 sin 22 2 OB OCθ θ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ 1 sin 22 θ θ− 1 (2 cos )2 BC OB θ⋅ + 1 B C2 O O− ⋅ ⋅ 1 2 sin (2 Bcos )2 OB Oθ θ⋅ + 1 2 − 1 3 θ π= 1 3 3 4 π − 3 5 3 4 3 π− 1 2 10, 2 θ π ∈   1 2 10, 2 θ π ∈   - 14 - 则 ， 令 ＝0 可得，cosθ＝ （舍负）， 记 cosθ0＝ ， ， 当 θ∈（0，θ0）时， ＞0，函数单调递增，当 时， ＜0，函数单调递 减，故当 θ＝θ0 时，即 cosθ＝ 时，f（θ）取得最大值，即 S2﹣S1 取得最大值． 故答案为： ； . 【点睛】本题主要考查了利用导数求解与三角有关的函数的最值问题，体现了转化思想的应 用，属于中档题. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. 2019 年底某汽车 店为跟踪调查该店售后服务部的当年的服务质量，兑现奖惩，从购买 该品牌汽车的顾客中随机抽出 100 位顾客对售后服务部的服务质量打分（5 分制），得到如图 所示的柱状图. （1）从样本中任意选取 3 名顾客，求恰好有 1 名顾客的打分不低于 4 分的概率； （2）若以这 100 位顾客打分的频率作为概率，在该 店随机选取 2 名顾客进行打分（顾客打 分之间相互独立），记 X 表示两人打分之差的绝对值，求 X 的分布列和 . 【答案】（1） ；（2）答案见解析. 【解析】 2( ) 2cos cos2 1 2cos 2cos 2f θ θ θ θ θ′ = + − = + − ( )f θ′ 1 5 2 − ± 1 5 2 − + 0 10, 2 θ π ∈   ( )f θ′ 0 1, 2 θ θ π ∈   ( )f θ′ 1 5 2 − + 5 3 4 3 π− 1 5 2 − + 4S 4S ( )E X 25 66 - 15 - 【分析】 （1）从样本中选 3 人，共有 种不同选法，恰好有 1 名顾客的打分不低于 4 分选法有 ，再求概率即可； （2）根据题意，每名顾客打分为 2,3,4,5 分的概率分别为 ，再写出 X 的可能 取值为 0，1，2，3，根据独立事件的概率计算求解即可. 【详解】（1）设“从样本中任意选取 3 名顾客，恰好有一名顾客的打分不低于 4 分”为事件 A， 从样本中选 3 人，共有 种不同选法， 恰好有 1 名顾客的打分不低于 4 分选法有 ， 则 （2）根据题意，每名顾客打分为 2,3,4,5 分的概率分别为 ， X 的可能取值为 0，1，2，3； 则 . ， . ， X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P 0.26 0.42 0.24 008 的数学期望为 . 【点睛】本题考查概率的计算，独立事件的概率分布列等，考查分析解决问题的能力，是中 档题. 18. 如图，在 中， ， ，点 D 为 内一点，满足 ， 且 . 3 100C 2 1 50 20C C 0.2,0.3,0.3,0.2 3 100C 2 1 50 20C C ( ) 2 1 50 20 3 100 C C 25 C 66P A = = 0.2,0.3,0.3,0.2 ( )0 0.2 0.2 0.3 0.3 0.2 0.2 0.3 0.3 0.26P X = = × + × + × + × = ( )1 2 0.2 0.3 2 0.3 0.3 2 0.2 0.3 0.42P X = = × × + × × +× × × = ( )2 2 0.2 0.3 2 0.3 0.2 0.24P X = = × × + × × = ( )3 2 0.2 0.2 0.08P X = = × × = X ( ) 0 0.26 1 0.42 2 0.24 3 0.08 1.14E X = × + × + × + × = ABC 5AB = 4AC = ABC 2BD CD= = 2cos 2cos 1A DBC= ∠ − - 16 - （1）求 的值； （2）求 . 【答案】（1）2；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用已知余弦关系得出 ，即 ，然后在 和 中应用正弦定理后两式相除可得 ； （2）分别求出 和 ，利用这两个余弦是相反数求得 长，即得 ． 【详解】（1）设 ， ， ， 因为 ，所以 ， 所以 . 又 ，A 为三角形的内角，所以 ，从而 . 在 中， ， 所以 同理， 所以 ， 所以 . （2）在 中， ， 同理 ， sin sin ABC BCD ∠ ∠ cos A 11 16 A BDC π+ ∠ = sin sinA BDC= ∠ ABC BDC sin sin ABC BCD ∠ ∠ cos A cos BDC∠ BC cos A BC a= AC b= AB c= BD CD= 2BDC DBCπ∠ = − ∠ 2cos cos2 1 2cos cosBDC DBC DBC A∠ = − ∠ = − ∠ = − BDC∠ BDC A π∠ + = sin sinBDC A∠ = ABC sin sin a b A ABC = ∠ 4 sin sin a A ABC = ∠ 2 sin sin a BDC BCD =∠ ∠ 4 2 sin sinABC BCD =∠ ∠ sin 2sin ABC BCD ∠ =∠ ABC 2 2 2 2 2 2 25 4 41cos 2 2 5 4 40 b c a a aA bc + − + − −= = =× × 28cos 8 aBDC −∠ = - 17 - 由（1）可得 ，解得 ， 所以 . 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力． 19. 如图①，在平面五边形 中， 是梯形， ， ， ， ， 是等边三角形.现将 沿 折起，连接 、 得如图②的几何体. （1）若点 是 的中点，求证： 平面 ； （2）若 ，在棱 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若 存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在； . 【解析】 【分析】 （1）取 的中点 ，连接 、 ，证明出四边形 为平行四边形，可得出 ，再利用线面平行的判定定理可得出结论； （2）取 中点 ，连接 、 ，推导出 、 、 两两垂直，然后以点 为原 点，分别以射线 、 、 为 、 、 轴正半轴建立空间直角坐标系，设 ，利用空间向量法结合二面角 的余弦值为 可求得 2 241 8 40 8 a a− −= − 2 27 2a = 2741 55 112cos 40 80 16A − = = = ABCDE ABCD //AD BC 2 2 2AD BC= = 3AB = 90ABC∠ =  ADE ADE AD EB EC M ED //CM ABE 3EC = EB F E AD F− − 2 2 3 EF EB 1 3 EF EB = AE N MN BN BCMN //CM BN AD O OC OE OC OD OE O OC OA OE x y z ( )0 1EF EBλ λ= ≤ ≤  E AD F− − 2 2 3 λ - 18 - 的值，进而可求得 的值，由此可得出结论. 【详解】（1）取 中点 ，连接 、 ，则 是 的中位线， 且 ， 且 ， 且 ，则四边形 是平行四边形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）取 中点 ，连接 、 ，易得 ， ， 在 中，由已知 ， ， . ， ，所以， 、 、 两两垂直， 以 为原点，分别以射线 、 、 为 、 、 轴正半轴建立如图所示空间直角坐标 系， 则 、 、 、 ， 则 ， ， ， EF EB AE N MN BN MN EAD //MN AD∴ 1 2MN AD= //BC AD 1 2BC AD= //BC MN BC MN= BCMN //CM BN∴ CM ⊄ ABE BN ⊂ ABE //CM∴ ABE AD O OC OE OE AD⊥ OC AD⊥ COE 3CE = 3OC AB= = 3 2 2 62OE = × = 2 2 2OC OE CE+ = OC OE⊥ OC OD OE O OC OA OE x y z ( )0, 2,0A ( )3, 2,0B ( )0, 2,0D − ( )0,0, 6E ( )3, 2, 6EB = − ( )0, 2, 6AE = − ( )0, 2 2,0AD = − - 19 - 假设在棱 上存在点 满足题意，设 ， 则 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，得平面 的一个法向量 ， 又平面 的一个法向量 ， 由已知 ， 整理得 ，解得 （ 舍去）， 因此，在棱 上存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，且 . 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用二面角的余弦值解决动点问题，考查 计算能力与推理能力，属于中等题. 20. 已知 是各项均为正数的无穷数列，数列 满足 （ ），其中常数 为正整数. （1）设数列 前 n 项的积 ，当 时，求数列 的通项公式； （2）若 是首项为 ，公差 为整数的等差数列，且 ，求数列 的前 项的和. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先根据前 项积与通项公式的关系求解 （ ），再验证 时满足，进而 得 （ ），再求 时， ； EB F ( )0 1EF EBλ λ= ≤ ≤  ( )3, 2, 6EF λ= − ( )3 , 2 2, 6 6AF AE EF λ λ λ= + = − −   ADF ( ), ,m x y z= 0 0 m AF m AD  ⋅ =  ⋅ =   ( ) ( )3 2 2 6 6 0 2 2 0 x y z y λ λ λ + − + − = − = z λ= ADF ( )2 2,0,m λ λ= − EAD ( )1,0,0n = ( ) ( )2 2 2 1 2 2cos , 32 1 m n m n m n λ λ λ −⋅ < > = = = ⋅ − +       23 2 1 0λ λ+ − = 1 3 λ = 1λ = − EB F E AD F− − 2 2 3 1 3 EF EB = { }na { }nb n n n kb a a += ⋅ n ∗∈N k { }na ( )1 22 n n nT − = 2k = { }nb { }na 1 d 2 1 4b b− = 1 nb       2020 4n nb = 2020 2021 n 12n na -= 2n ≥ 1n = 12n na -= n ∗∈N 2k = 4n nb = - 20 - （2）先根据题意求得 ， ，再结合 和 为等差数 列分析得 ， ，故 ，再用裂项求和法求和即可得答案. 【详解】解：（1）因为 ， 所以 （ ）， 两式相除，可得 （ ）， 当 时， ，符合上式， 所以 （ ）， 当 时， ； （2）因为 ，且 ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 是各项均为正数的无穷数列， 是首项为 1，公差 d 为整数的等差数列， 所以 d，k 均为正整数，所以 ， 所以 ， 所以 ，解得 ， 所以 ，即 . 所以 ，即 ，解得 ， 所以 ，则 ， 记 的前 n 项和为 ， 则 所以 ； 1 1kb a += ( )( )2 11 kb d a d+= + + 2 1 4b b− = { }na 1d = 1k = ( )1nb n n= + ( )1 22 n n nT − = ( )( )2 1 2 1 2 n n nT − − − = 2n ≥ ( ) ( )( )1 1 2 122 2 n n n n n na − − − − −= = 2n ≥ 1n = 1 1 1 1 1 2a T −= = = 12n na -= n ∗∈N 2k = 1 1 2 2 2 4n n n n n nb a a − + += ⋅ = ⋅ = n n n kb a a += ⋅ 1 1a = 1 1 1 1k kb a a a+ += = ( )( )2 2 2 11k kb a a d a d+ += = + + ( )2 2 1 1 1 4kb b d d a +− = + + = { }na { }na 1d ≥ 1 2 1 2ka a d+ ≥ = + ≥ ( )2 2 1 1 4 3kd d a d d++ + = ≥ + 1d ≤ 1d = na n= ( )2 1 11 4 2k kd d a a+ ++ + = = + 1 2ka + = 1k = ( )1 1n n nb a a n n+= = + 1 1 1 1nb n n = − + nb nS 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1nS n n n      = − + − + − + + − = −     + +      2020 1 20201 2021 2021S = − = - 21 - 【点睛】本题考查前 项和的积与通项公式的关系，裂项求和法等，考查分析问题与解决问题 的能力，数学运算能力，是中档题. 21. 已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C： 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 ． （Ⅰ）证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程 ，根据已知中过 F 且斜率为 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 ，我们求出点 P 的坐标，代入验证即可． （Ⅱ）若 A、P、B、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后 将第四点坐标代入验证即可． 【详解】证明：（Ⅰ）设 A（x1，y1），B（x2，y2） 椭圆 C： ①，则直线 AB 的方程为：y x+1 ② 联立方程可得 4x2﹣2 x﹣1＝0， 则 x1+x2 ，x1×x2 则 y1+y2 （x1+x2）+2＝1 n 2 2 12 yx + = 2− 0OA OB OP+ + =    2 2 12 yx + = 2− 0OA OB OP+ + =    2 2 12 yx + = 2= − 2 2 2 = 1 4 = − 2= − - 22 - 设 P（p1，p2）， 则有： （x1，y1）， （x2，y2）， （p1，p2）； ∴ （x1+x2，y1+y2）＝（ ，1）； （p1，p2）＝﹣（ ） ＝（ ，﹣1） ∴p 的坐标为（ ，﹣1）代入①方程成立，所以点 P 在 C 上． （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 设线段 AB 的中点坐标为（ ， ），即（ ， ）， 则过线段 AB 的中点且垂直于 AB 的直线方程为：y （x ），即 y x ；③ ∵P 关于点 O 的对称点为 Q，故 0（0.0）为线段 PQ 的中点， 则过线段 PQ 的中点且垂直于 PQ 的直线方程为：y x④； ③④联立方程组，解之得：x ，y ③④的交点就是圆心 O1（ ， ）， r2＝|O1P|2＝（ （ ））2+（﹣1 ）2 故过 PQ 两点圆的方程为：（x ）2+（y ）2 ⑤， 把 y x+1 …②代入⑤， 有 x1+x2 ，y1+y2＝1 ∴A，B 也是在圆⑤上的． ∴A、P、B、Q 四点在同一圆上． 0A = 0B = 0P = 0 0A B+ =  2 2 0P = 0 0A B+  2 2 − 2 2 − 1 2 2 x x+ 1 2 2 y y+ 2 4 1 2 1 2 2 2 − = 2 4 − 2 2 = 1 4 + 2 2 = − 2 8 = − 1 8 = 2 8 − 1 8 2 2 − − 2 8 − 1 8 − 99 64 = 2 8 + 1 8 − 99 64 =  2= − 2 2 = - 23 - 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与 曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键． 22. 已知函数 满足 ， ， ． （1）求函数 的解析式； （2）求函数 的单调区间； （3）当 且 时，求证： ． 【 答 案 】（1 ） ； （ 2 ） 当 时 ， 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ， 当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（3）详 见解析. 【解析】 【分析】 （1）由已知中 ，可得 ， 进而可得 ， ，进而得到函数 的解析式； （2）由（1）得： ，即 ， ，对 a 进行分类讨论，可 得不同情况下函数 的单调区间； （3）令 ， ，然后利用导数研究各自单调性，结合单调性 分类去掉 和 的绝对值，再构造差函数，利用导数证明大小. 【详解】（1）∵ ， ( )f x 2 2 2(1)( ) 2 (0)2 xf f xxf x e −′= + − 21( ) (1 )2 4 xg x f x a x a = − + − +   x∈R ( )f x ( )g x 2a ≥ 1≥x 1ln lnxe x e a xx −− < + − 2 2( ) 2xf x e x x= + − 0a ≤ ( )g x ( )−∞ + ∞， 0a > ( )g x ( )ln a + ∞， ( )ln a−∞， 2 2 2(1)( ) 2 (0)2 xf f xxf x e −′= + − 2 2( ) (1) 2 2 (0)xf x f e x f−′ ′= ⋅ + − (0) 1f = 2(1) 2f e′ = ( )f x 2 2( ) 2xf x e x x= + − 21( ) (1 ) ( 1)2 4 xxg x f x a x a e a x = − + − + = − −   ( ) xg x e a= −′ ( )g x l( n) ep xx x−= 1 l( n) xeq xx a− + −= ( )p x ( )q x 2 2 2(1)( ) 2 (0)2 xf f xxf x e −′= + − - 24 - ∴ ， ∴ ， 即 ， 又∵ ， 所以 ， 所以 ； （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ①当 时， 恒成立，函数 在 R 上单调递增； ②当 时，由 得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ， 当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； （3）令 ， ，当 且 时， 由 得 在 上单调递减， 所以当 时， ，当 时， ， 而 ， ， 所以 在 上单调递增， ， 则 在 上单调递增， ， 2 2( ) (1) 2 2 (0)xf x f e x f−′ = ′ ⋅ + − (1) (1) 2 2 (0)f f f′ = ′ + − (0) 1f = ( ) ( ) 210 2 ff e−= ⋅′ 2(1) 2f e′ = 2 2( ) 2xf x e x x= + − 2 2( ) 2xf x e x x= + − 21( ) (1 ) ( 1)2 4 xxg x f x a x a e a x = − + − + = − −   ( ) xg x e a= −′ 0a ≤ ( ) 0g x′ > ( )g x 0a > ( ) 0xg x e a′ = − = lnx a= ( )lnx a∈ −∞， ( ) 0g x′ < ( )g x ( )lnx a∈ + ∞， ( ) 0g x′ > ( )g x 0a ≤ ( )g x ( )−∞ + ∞， 0a > ( )g x ( )ln a + ∞， ( )ln a−∞， l( n) ep xx x−= 1 l( n) xeq xx a− + −= 2a ≥ 1≥x 2 1( ) 0ep x xx ′ = − − < ( )p x [ )1,+∞ 1 x e≤ ≤ (( 0) )pp ex > = x e> ( ) 0p x < 1 1( ) xq x e x ′ −= − 1 2 0( 1) xq x e x −= −′ >′ ( )q x′ [ )1,+∞ ( ) (1) 0q x q′ ′> = ( )q x [ )1,+∞ ( ) (1) 2 0q x q a> = + > - 25 - ①当 时， ， ，所以 在 上单调递减， ， ， ②当 时， ， ， ， 所以 ，所以 递减， ， ， 综上， ． 【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明 不等式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分析和转化能力，属于难题. 1 x e≤ ≤ 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )xep x q x p x q x e a m xx −− = − = − − = 1 2( ) 0xem x ex −′ = − − < ( )m x [ ]1,e ( ) (1) 1 0m x m e a≤ = − − < ( ) ( )p x q x< x e> 1( ) ( ) ( ) ( ) 2ln ( )xep x q x p x q x x e a n xx −− = − − = − + − − = 1 2 2( ) xen x ex x −′ = + − 1 2 2 2 2( ) 0xen x ex x −′′ = − − − < ( ) ( ) 0n x n e′ ′< < ( )n x ( ) ( ) 0n x n e< < ( ) ( )p x q x< 1ln lnxe x e a xx −− < + −