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- 2021-04-27 发布
吴起高级中学2019-2020学年第一学期中期考试高二文科数学能力卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列说法正确的是 （ ）
A. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B. 数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是相同的数列
C. 数列{}的第k项为1+
D. 数列0，2，4，6，…可记为{2n}
【答案】C
【解析】
由数列的定义可知A中{1，3，5，7}表示的是一个集合，而非数列，故A错误；
B中，数列中各项之间是有序的，故数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1是不同的数列，故B错误；
C中，数列{}的第k项为=1+，故C正确；
数列0，2，4，6，…的通项公式为an=2n−2，故D错．
故选C．
考点：数列的概念，数列的通项公式．
2.正项等比数列{}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么公比q等于
A. 3 B. 3或－3
C. 9 D. 9或－9
【答案】A
【解析】
因为为正项等比数列，所以其公比。由可得，所以，故选A
3.已知，，且，不为0，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：根据不等式的性质，可知，则，故选D.
考点：不等式的性质.
4.命题“若，则”的逆命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则.
C. 若，则 D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】
根据命题“若，则”逆命题为“若，则”即可得结果.
【详解】由于命题“若，则”的逆命题为“若，则”，
故命题“若，则”的逆命题是“若，则”
故选：A.
【点睛】本题主要考查了逆命题的概念，属于基础题.
5.不等式的解集是（ )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：且且
，化简得解集
考点：分式不等式解法
6.在中，角A，B，C所对的边为a,b,c，，，则外接圆的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理即可得出外接圆的半径，即可得出外接圆的面积．
【详解】设外接圆的半径，
则，解得，
∴外接圆的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用正弦定理求外接圆的半径、圆的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. －3 B. 1 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线到的位置，此时目标函数取得最大值为.
故选C.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
8.若的三个内角满足，则（ ）
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.
【详解】由，可得出，
设，则，，则角为最大角，
由余弦定理得，则角为钝角，
因此，为钝角三角形，故选：C.
【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
9.在△ABC中，“”是“A＜B”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用大角对大边得到，进而利用正弦定理将边边关系得到，即证明了必要性，再同理得到充分性．
【详解】在三角形中，若A＜B，则边a＜b，由正弦定理，得．若，则由正弦定理，得a＜b，根据大边对大角，可知A＜B，即是A＜B的充要条件．故选C.
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行与的转化.
10.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由等比数列的性质可得：，所以.
.
则，
故选：B.
11.条件或，条件，p是q（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】
通过举反例，判断出成立推不出成立，通过判断逆否命题真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论．
【详解】若成立，例如当，时，不成立，即不成立，
反之，若且，则是真命题，
所以若，则或是真命题，即成立，
所以是的必要而不充分条件，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立，属于中档题．
12.已知，，，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把看成的形式，把“4”换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．
【详解】∵，，且，
∴，
等号成立的条件为，
所以的最小值为1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是写成形式，属于中档题.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.要求每小题写出最简结果）
13.命题“”的否定是 .
【答案】
【解析】
【分析】
本题可以先观察题目所给命题，通过命题特征可知其为全称命题，再通过全称命题的相关性质以及全称命题的否定形式即可得出答案。
【详解】由全称命题的否定为特称命题可知，
命题“”的否定是“”，
故答案为。
【点睛】本题主要考查了命题的否定，特别注意，命题中有全称量词时命题是全称命题，全称命题的否定为特称命题，属于基础题。
14.等差数列中，已知，则____________.
【答案】16
【解析】
【分析】
直接利用等差数列的性质得答案．
【详解】∵数列是等差数列，且，
∴由等差数列的性质，得．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了等差数列的性质，在等差数列中，若，，，，且，则，属于基础题．
15.已知命题：“，使”为真命题，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
依题意，函数开口向上，且对称轴为，在上单调递增， 故.
16.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示），不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后（没有完全断开），树干与底面成角，折断部分与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则大树原来的高度是____米（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】
先设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，得到三角形的三个角的大小，再由正弦定理即可求解.
【详解】如图所示,设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，
则,, 所以．由正弦定理知,
，所以(米)， (米)，
(米)．答案：
【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，常用正弦定理和余弦定理等来解题，难度不大.
三、解答题：（本题共六大题，共70分）
17.已知条件，条件，若“”为真，求的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的解法求出命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．
【详解】由，得或；
由，得，；
又∵为真时，∴为真，为真，即，
则x的取值范围是.
【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据不等式的解法求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于中档题.
18.在等差数列中，已知，，求当取何值时，数列的前n项和最大，并求此最大值.
【答案】当时，最大，最大值为169
【解析】
【分析】
令公差为，根据等差数列前项和公式列出关于的方程，解出可得的通项公式，根据求出即可求出最大值.
【详解】令公差为，依题意：
，
∴，∴.
由，
∴，∴.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.解关于的不等式:＜.
【答案】
【解析】
试题分析：＜即。
所以，
考点：含参数一元二次不等式的解法。
点评：中档题，含参数一元二次不等式的求解，首先应考虑因式分解法，讨论根的大小，写出解集。
20.某工厂拟建一座底为矩形且面积为的三级污水处理池（平面图如图所示），如果池四周的围墙建造单价为每米400元，中间两道隔墙单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元.请你设计：污水处理池的长和宽为多少米时，总造价最低，并求出总造价.
【答案】污水处理池的长为18米，宽为米，总造价最低，为44800元.
【解析】
【分析】
令池底长为x米，宽为米，总造价为y元，依题意化简得，利用基本不等式求解即可.
【详解】令池底长为x米，宽为米，总造价为y元，依题意：
，
取等号的条件是，则长为18米，宽为米，总造价最低，为44800元.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用、造价与建筑面积和单价的关系等基础知识与基本方法，属于中档题．
21.在中，角所对的边分别是，.
（1）求角的大小；
（2）是边上的中线，若，，求的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由于，可得：，结合范围，可求的值．
（2）由三角形面积公式可求，进而利用余弦定理可得，即可解得的值．
【详解】解：（1）在中，，由正弦定理得，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴.
（2）在中，，，，∴，
∴，
∵是的中线，∴，
在中，由余弦定理得
.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
22.已知数列满足
（1）若数列满足，求证：等比数列；
（2）求数列的前项和
【答案】(1) 见解析；(2) .
【解析】
试题分析：（1）通过恒等变形，得到即，结论得证;
（2）由(1)可得，分成一个等比数列，一个常数列求和即可.
试题解析： (1) 由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
(2) 由(1)知，从而，
有.
点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据得到，即证得是等比数列;第二问中的通项由
，比较明显地可以分成一个等比数列，一个常数列求和即可.