2021高考数学新高考版一轮习题：专题7 第56练 空间的垂直大题练 Word版含解析 5页

‎1.(2020·西安模拟)如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．‎ ‎(1)求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎(2)若AB＝2，PB＝，求三棱锥B－CDE的体积．‎ ‎2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝CF，∠ABC＝60°，四边形ACFE为平行四边形，FC⊥平面ABCD，点M为线段EF的中点．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面ACFE；‎ ‎(2)若AD＝2，求点A到平面MBC的距离．‎ ‎3．(2019·张家口质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD.‎ ‎(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；‎ ‎(2)若PA＝AB＝BC＝2AD，且二面角P－BC－A等于45°，求直线BD与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是棱BC的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.‎ ‎(1)若点M在棱BB1上，且BM＝1，求证：平面CAM⊥平面ADF；‎ ‎(2)棱AB上是否存在一点E，使得C1E∥平面ADF，证明你的结论．‎ 答案精析 ‎1．(1)证明　连接AC(图略)，∵PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥BD，‎ 又四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，‎ 又PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC＝O，‎ ‎∴BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)解　由题意知OB＝，‎ 又PB＝，∴PO＝＝2，‎ S△BCD＝BC·CD＝×2×2＝2，‎ 点E到平面BCD的距离为h＝PO＝1，‎ ‎∴VB－CDE＝VE－BCD＝S△BCD·h＝×2×1＝.‎ ‎2．(1)证明　设AD＝m，则DC＝CB＝AD＝m，‎ 在梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∴AB＝2m，‎ ‎∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 60°＝3m2，‎ ‎∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC.‎ ‎∵FC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴FC⊥BC，‎ ‎∵AC∩FC＝C，AC⊂平面ACFE，FC⊂平面ACFE，‎ ‎∴BC⊥平面ACFE.‎ ‎(2)解　由(1)知BC⊥AC，‎ ‎∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2，‎ ‎∵四边形ACFE为平行四边形，∴FM∥AC，‎ ‎∴点M到平面ABC的距离为CF＝AD＝2，‎ ‎∴VM－ABC＝×S△ABC×CF＝×2×2＝，‎ ‎∵BC⊥平面ACFE，CM⊂平面ACFE，∴BC⊥CM，‎ 又MC＝＝，‎ ‎∴S△MBC＝×MC×BC＝××2＝，‎ 设点A到平面MBC的距离为d，‎ 则VA－MBC＝VM－ABC＝×S△MBC×d＝××d＝，‎ ‎∴d＝.‎ ‎3．(1)证明　由AD∥BC，AD⊥AB可得，BC⊥AB，‎ 因为侧面PAB⊥底面ABCD，交线为AB，BC⊂底面ABCD且BC⊥AB，‎ 则BC⊥侧面PAB，BC⊂平面PBC，‎ 所以平面PAB⊥平面PBC.‎ ‎(2)解　由BC⊥侧面PAB可得，BC⊥PB，BC⊥AB，‎ 则∠PBA是二面角P－BC－A的平面角，∠PBA＝45°，‎ 由PA＝AB可得，△PAB为等腰直角三角形，‎ 取PB的中点E，连接AE，‎ 可得AE⊥PB，‎ 因为平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，AE⊂平面PAB且AE⊥PB，‎ 所以AE⊥平面PBC，点A到平面PBC的距离为AE.‎ 因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，则AD∥平面PBC，‎ 所以点D到平面PBC的距离d等于点A到平面PBC的距离，d＝AE.‎ 设AD＝1，则PA＝AB＝BC＝2，‎ 在△PAB中，AE＝；在△ABD中，BD＝，‎ 设直线BD与平面PBC所成角为θ，‎ 即sin θ＝＝＝＝，‎ 所以，直线BD与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎4．(1)证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，‎ 由于B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，‎ 所以平面B1BCC1⊥平面ABC.(或者得出AD⊥BB1)‎ 由于AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.‎ 平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，‎ 所以AD⊥平面B1BCC1.‎ 而CM⊂平面B1BCC1，于是AD⊥CM.‎ 因为BM＝CD＝1，BC＝CF＝2，‎ 所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF.‎ DF∩AD＝D，所以CM⊥平面ADF，CM⊂平面CAM，‎ 所以平面CAM⊥平面ADF.‎ ‎(2)解　E为棱AB的中点时，使得C1E∥平面ADF，证明如下：‎ 连接CE交AD于O，连接OF.‎ 因为CE，AD为△ABC的中线，‎ 所以O为△ABC的重心，＝＝.‎ 从而OF∥C1E.‎ OF⊂平面ADF，C1E⊄平面ADF，‎ 所以C1E∥平面ADF.‎