江西省信丰中学2020届高三数学上学期第九次周考理A层13班2（含解析） 8页

- 1 - 江西省信丰中学 2020 届高三数学上学期第九次周考（理 A 层）（13 班） 一。选择题（50 分） 1．如图，ABCDA1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列 结论正确的是( ) A．A，M，O 三点共线 B．A，M，O，A1 不共面 C．A，M，C，O 不共面 D．B，B1，O，M 共面 2 下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点， 能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( ) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 3 已知直线 a，b 异面，给出以下命题： ①一定存在平行于 a 的平面α使 b⊥α； ②一定存在平行于 a 的平面α使 b∥α； ③一定存在平行于 a 的平面α使 b⊂α； ④一定存在无数个平行于 a 的平面α与 b 交于一定点． 则其中论断正确的是( ) A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ - 2 - 4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,O 是底面 ABCD 的中心,E,F 分别是 CC1,AD 的中点,则异面直 线 OE 与 FD1 所成角的余弦值为( ) A.. 10 5 B. 15 5 C. 4 5 D. 2 3 5．如图所示，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 E 是棱 1CC 上的一 个 动点 ， 平面 1BED 交 棱 1AA 于 点 F ． 则下 列 命题 中 假 命题． ．．是 （ ） （A）存在点 E ，使得 1 1AC //平面 1BED F （B）存在点 E ，使得 1B D  平面 1BED F （C）对于任意的点 E ，平面 1 1AC D  平面 1BED F （D）对于任意的点 E ，四棱锥 1 1B BED F 的体积均不变 6. 已知函数 2 2 2 sin 2 ( , , 0)2 cos 2 a ay a aa a        R .那么对于任意的 ,a  ，函数 y 的最大值 与最小值分别为（ ） A. 2 3,2 3  B. 2 21 ,12 2   C.3 2 2,3 2 2  D. 3,1 7.已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心， 则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 ( ) A. 3 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 3 8.如右图所示，正三棱锥Ｖ－ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是 VC，VA,AC 的 中点，Ｐ为ＶＢ上任意一点，则直线ＤＥ与ＰF 所成的角的大小是（ ） A. 6  B. 3  C. 2  D.随Ｐ点的变化而变化 9. 高为 4 2 的四棱锥 ABCDS  的底面是边长为 1 的正方形，点 S 、A、 B、C、D 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为（ ） A． 4 2 B. 2 2 C． 2 D. 1 P A B C V E D F - 3 - 10 已知二面角   AB 的平面角是锐角 ， 内一点C 到  的距离为 3，点C 到棱 AB 的 距离为 4，那么 tan 的值等于 ( ) A． 4 3 B． 5 3 C． 7 7 D． 7 73 二．填空题（20 分） 11 如图，三棱锥 VABC 的底面为正三角形，侧面 VAC 与底面垂直且 VA＝VC，已知其主视 图的面积为2 3 ，则其左视图的面积为________． 12.已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面 SCA  平 面 , ,SCB SA AC SB BC  ，三棱锥 S ABC 的体积为 9，则球O 的表面积为________ 13 如图,四棱锥 O-ABCD 中,AC 垂直平分 BD,| |=2,| |=1, 则( )·( )的值是 . 14．如图所示，正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA′，CC′的中点， 过直线 EF 的平面分别与棱 BB′、DD′分别交于 M，N 两点，设 BM=x，x∈[0，1]，给出以下 四个结论： ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′； ②直线 AC∥平面 MENF 始终成立； ③四边形 MENF 周长 L=f（x），x∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h（x）为常数； 以上结论正确的是 ． - 4 - 三．解答题（48 分） 15．如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 A1A⊥底面 ABC， 点 E，F 分别是棱 CC1，BB1 上的点，点 M 是线段 AC 上的动点，EC＝2FB＝2. (1)当点 M 在何位置时，BM∥平面 AEF? (2)若 BM∥平面 AEF，判断 BM 与 EF 的位置关系，说明理由；并求 BM 与 EF 所成的角的余 弦值． 16．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PD ⊥底面 ABCD，PD=AD，E 为 PC 的中点，F 为 PB 上一点，且 EF⊥PB． （1）证明：PA∥平面 EDB； （2）证明：PB⊥平面 EFD； （3）求三棱锥 B﹣ADF 的体积． 17 如图所示的几何体 ABCDFE 中，△ABC，△DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四 边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC. (1)求几何体 ABCDFE 的体积； (2)证明：平面 ADE∥平面 BCF. 18. 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为矩形，AB=2，AA1=2 ，D 是 AA1 的中点，BD 与 AB1 交于点 O，且 CO⊥ABB1A1 平面． （1）证明：BC⊥AB1； （2）若 OC=OA，求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值． - 5 - 2019 年高三（13）班第九次周考卷参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B B A A C D D 二．填空题 11 3 3 1236π 13 3 14 ①②④ 三．解答题 15 解：(1)法一：如图(1)所示，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M. 因为侧棱 A1A⊥底面 ABC，所以侧面 A1ACC1⊥底面 ABC. 又因为 EC＝2FB＝2， 所以 OM∥FB∥EC 且 OM＝1 2 EC＝FB， 所以四边形 OMBF 为矩形，BM∥OF. 因为 OF⊂平面 AEF，BM⊄ 平面 AEF， 故 BM∥平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点． 法二：如图(2)所示，取 EC 的中点 P，AC 的中点 Q，连接 PQ，PB，BQ. 因为 EC＝2FB＝2， 所以 PE 綊 BF， 所以 PQ∥AE，PB∥EF， 所以 PQ∥平面 AFE，PB∥平面 AEF， 因为 PB∩PQ＝P，PB，PQ ⊂平面 PBQ， 所以平面 PBQ∥平面 AEF. 又因为 BQ⊂平面 PBQ， 所以 BQ∥平面 AEF. 故点 Q 即为所求的点 M，此时点 M 为 AC 的中点． - 6 - (2)由(1)知，BM 与 EF 异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线 BM 与 EF 所成的角或其补角． 易求 AF＝EF＝ 5，MB＝OF＝ 3，OF⊥AE， 所以 cos∠OFE＝OF EF ＝ 3 5 ＝ 15 5 ， 所以 BM 与 EF 所成的角的余弦值为 15 5 . 16．明：（1）连接 AC 交 BD 于点 G，连接 EG．（1 分） 因为四边形 ABCD 是正方形，所以点 G 是 AC 的中点， 又因为 E 为 PC 的中点，因此 EG∥PA．（2 分） 而 EG⊂平面 EDB，所以 PA∥平面 EDB．（4 分） （2）证明：∵PD⊥底面 ABCD 且 DC⊂底面 ABCD，∴PD⊥DC ∵PD=DC，可知△PDC 是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线， ∴DE⊥PC① 同样由 PD⊥底面 ABCD，得 PD⊥BC ∵底面 ABCD 是正方形，有 DC⊥BC，∴BC⊥平面 PDC 而 DE⊂平面 PDC，∴BC⊥DE② 由①和②推得 DE⊥平面 PBC 而 PB⊂平面 PBC，∴DE⊥PB 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E，所以 PB⊥平面 EFD…（9 分） （3）解：过点 F 作 FH∥PD，交 BD 于 H． 因为 PD⊥底面 ABCD，FH∥PD，所以 FH⊥底面 ABCD． 由题意，可得 ， ， ． 由 Rt△PFE∽Rt△PCF，得 ， ． 由 Rt△BFH∽Rt△BPD，得 ， ． 所以 ，（10 分） 所以 ，即三棱锥 B﹣ADF 的体积为 …（12 分） 17 解：(1)取 BC 的中点 O，ED 的中点 G，连接 AO，OF，FG，AG. ∵AO⊥BC，AO⊂平面 ABC，平面 BCED⊥平面 ABC， ∴AO⊥平面 BCED.同理 FG⊥平面 BCED. ∵AO＝FG＝ 3， - 7 - ∴VABCDFE＝1 3 ×4× 3×2＝8 3 3 . (2)证明：由(1)知 AO∥FG，AO＝FG， ∴四边形 AOFG 为平行四边形， ∴AG∥OF. 又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面 ADE，AG⊂平面 ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面 BCF，BC ⊂平面 BCF， ∴平面 ADE∥平面 BCF. 18（I）证明：由题意，因为 ABB1A1 是矩形， D 为 AA1 中点，AB=2，AA1=2 ，AD= ， 所以在直角三角形 ABB1 中，tan∠AB1B= = ， 在直角三角形 ABD 中，tan∠ABD= = ， 所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°， 所以在直角三角形 ABO 中，故∠BOA=90°， 即 BD⊥AB1，又因为 CO⊥侧面 ABB1A1，AB1⊂侧面 ABB1A1， 所以 CO⊥AB1 所以，AB1⊥面 BCD，因为 BC⊂面 BCD，所以 BC⊥AB1． （Ⅱ）解：如图，分别以 OD，OB1，OC 所在的直线为 x，y，z 轴，以 O 为原点，建立空间直角 坐标系，则 A（0，﹣ ，0），B（﹣ ，0，0），C（0，0， ），B1（0， ，0），D （ ，0，0）， 又因为 =2 ，所以 所以 =（﹣ ， ，0）， =（0， ， ）， =（ ， ， ）， =（ ， 0，﹣ ）， 设平面 ABC 的法向量为 =（x，y，z）， 则根据 可得 =（1， ，﹣ ）是平面 ABC 的一个法向量， 设直线 CD 与平面 ABC 所成角为α，则 sinα= ， - 8 - 所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 ．…