- 5.01 MB
- 2021-04-26 发布
汕头市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学科试卷
命题：
一、单项选择题 (本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．)
1．设集合则（ ）
A． B． C． D．
2．若向量＝(1，－2)，＝(x,2)，且⊥，则x＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若幂函数的图象过点，则的解析式为（ ）.
A． B． C． D．
4. 如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
5．命题“x=π”是“sin x=0”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
6. 函数 的图象大致是（ ）
A B C D
7. 已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，
使，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方．记阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在3阶幻方中，)，则（ ）
A．1020 B．1010 C．510 D．505
10. 已知、分别为双曲线的左右焦点，左右顶点为、，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上情况均有可能
二、多项选择题 （本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）
11. 空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
AQI指数值
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图是某市12月1日日AQI指数变化趋势：
下列叙述正确的是（ ）
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
12. 已知定义域为的奇函数，满足,下列叙述正确的是（ ）
A.存在实数，使关于的方程有个不相等的实数根
B.当时，恒有
C.若当时，的最小值为，则
D.若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
三、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分．）
13.设直线与圆相交于两点，则___________.
14.若直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）的每个顶点都在球的表面上，
若,则球的表面积等于________.
15.如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形、、、、，记第块纸板的面积为，则（1）_______,（2）如果对 恒成立，那么a的取值范围是____________.
（本题第一个空2分，第二个空3分.）
16.已知函数，当时取得最小值，当时取得最大值，
且在区间上单调．则当取最大值时的值为______ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为3的等比数列，且．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求内角的值；
（Ⅱ）若，，求的面积．
19. （本小题满分12分）
如图，中，，，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把折起，
使点A到达点P的位置，且．
（Ⅰ）证明：平面PBE；
（Ⅱ）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．
20. （本小题满分12分）
已知圆C的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆相切.
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点P（0,1），若直线与圆相交于M,N两点，且∠MPN=90°，求的值.
21. （本小题满分12分）
已知函数
Ⅰ当时，求的值域；
Ⅱ若方程有解，求实数a的取值范围．
22. （本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为坐标原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.
数学科参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
D
A
C
B
B
D
B
ABD
AC
13.__ __; 14.____; 15._; ___; 16.______.
17. 解：解：（1）设等差数列的公差为d．
由，，得，解得． ………………………………1分
所以． ………………………………2分
由于是公比为3的等比数列，且， ………………………………3分
所以． ………………………………4分
从而． ………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）．
．……10分
18. 解：（Ⅰ）由余弦定理得 …………………………1分
化简得，
∴. …………………………3分
∵，∴. ……………………………5分
（Ⅱ）由，得， ……………………………6分
在中，∵，……8分
由正弦定理，得， ……………………………10分
. ………………………………12分
19. 解：（Ⅰ）证明：，F分别为AB，AC边的中点，
， …………………………1分
，
，， …………………………3分
又，BE、平面PBE， …………………………4分
平面PBE，平面PBE； …………………………5分
（Ⅱ）解：取BE的中点O，连接PO，
由知平面PBE，平面BCFE，
平面平面BCFE，
，
，
又平面PBE，平面平面，
平面BCFE，
过O作交CF于M，则OB，OM，OP两两相互垂直. …………………………6分
分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，F ．
，，
设平面PCF的法向量为，
由，取，得，………8分
由图可知为平面PBE的一个法向量， ………………………10分
， ………………………11分
平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值． ……………………12分
20. 解：(1)设圆心（）∴ 圆的半径为，所以 ，解得： ……2分
圆的标准方程是： ………………………4分
(2)设 . ，
消去得： ……………………………6分
△=，得： ……………………………7分
， ……………………………9分
因为∠MPN=90°，所以 ……………………………10分
又
……………………………11分
解得或. ……………………………12分
21. 解：（Ⅰ）当时， ……………………………1分
令，令， ……………………………2分
二次函数的图像开口向下，对称轴是，
所以二次函数在上单调递增，在上单调递减. …………………………3分
又，，所以， …………………………4分
所以的值域为 ……………………………5分
（Ⅱ）法一： ………………………6分
令，令， …………………………7分
①当，即时，，且，解得 ……………………8分
②，即时，，无解 ………………………9分
③当，即时，且，解得 …………………10分
综上所述 或 …………………………12分
法二： …………………………6分
令， …………………………7分
当，不合题意，∴ ………………………8分
∴， ………………………9分
∵在，递减 ………………………10分
∴或 ………………………11分
∴或 ………………………12分
22. 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，
∵离心率为，∴，
又点是抛物线的焦点，∴，
∴椭圆的方程为. ………………………………4分
（Ⅱ）∵，∴四边形为平行四边形.
当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； ………………………………5分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得.
由 得. …………………………6分
设，则，， …………………………7分
∵， …………………………8分
∴
， …………………………9分
令，则（），
∴， …………………………11分
当且仅当，即即时取等号，
∴当时，平行四边形的面积最大值为2.
此时直线的方程为. …………………………12分