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- 2021-04-26 发布
2019—2020年度“四省八校联盟”高三联考
数学（文科）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其它答案标号。回答非选择题时，将答案在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据并集的定义写出A∪B．
【详解】集合A＝{0，1}，
B＝{﹣1，0}，
则A∪B＝{﹣1，0，1}．
故选：B．
【点睛】本题考查了并集的概念及列举法表示集合的形式，是基础题．
2.（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把复数乘积展开，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，可以判断选项．
【详解】∵（1+3i）（1-i）＝1+3+3i-i＝4+2i
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式运算，是基础题．
3.设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由2x<1得x<0，由“x3<1”得x＜1，x<0是x＜1的充分不必要条件
则“2x<1”是“x3<1”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
4.已知命题：，，则是（）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．
【详解】∵命题p：∀x＞0，总有lgx＞0，
∴命题¬p为：∃x0＞0，使得lgx0≤0，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．
5.在等差数列中，，，则的前6项和为（）
A. 6 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列{an}通项公式列方程组求出a1，d，由此能求出{an}的前6项和．
【详解】∵在等差数列{an}中，a5，a2+a4＝2，
∴，
解得a1，d，
∴{an}的前6项和S6的值：
615×1．
故选B．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和的公式，考查等差数列的通项公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
6.若，，，则最小值为（）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
由a+2b≥2，可得a+2b的最小值．
【详解】∵a＞0，b＞0，ab＝2，
∴a+2b≥2，
当且仅当a＝2b＝2时取等号，
∴a+2b的最小值为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题．
7.如图是函数的部分图像，若，则（）
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可设A（a，），则B（a，），可得（，），利用向量模的坐标运算，求得T4，从而可得ω的值，代入x=-1计算可得结果．
【详解】设A（a，），函数f（x）sin（ωx+）的周期为T，则B（a，），∴（，），∵|AB|212=16，
∴T2＝16，
∴T4，
解得：ω．∴f（x）sin（x+），∴f（-1），
故选：D．
【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象解析式的确定及应用，涉及向量模的坐标运算及其应用，属于中档题．
8.在区间内任取一个实数，设，则函数的图像与轴有公共点的概率等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用f（x）＝﹣x2+mx+m的图象与x轴有公共点，可得m﹣4或m0，根据在[﹣6，9]内任取一个实数m，以长度为测度，可求概率．
【详解】∵f（x）＝﹣x2+mx+m的图象与x轴有公共点，
∴△＝m2+4m0，
∴m﹣4或m0，
∴在[﹣6，9]内任取一个实数m，函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的计算，确定以长度为测度是关键，是基础题．
9.已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，，则满足的实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（﹣1）的值，结合函数的单调性分析可得，解可得x的取值范围．
【详解】根据题意，函数f（x）是R上的奇函数，若f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，则，
又由函数在上为减函数，
则有，
解可得：，
即x的取值范围是（-2，2）；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，得出f（﹣1）=2是关键．
10.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
11.焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得得，，即，故选C.
考点：椭圆的标准方程与几何性质.
12.直线分别与曲线，相交于，两点，则的最小值为（）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设A（a，2 a+1），B（a，a+lna），求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．
【详解】设A（a，2a+1），B（a，a+lna），
∴|AB|＝，
令y，则y′1，
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x＝1时，函数y的最小值为，∴|AB|＝，其最小值为2.
故选：B．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设向量，，，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】
由已知利用向量垂直的坐标表示得到关于x的方程解之，代入计算所求即可.
【详解】由已知（x，1），（1，2），•，得到﹣x+2＝0，解得x；
∴（，-3），∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算及向量模的运算，属于基础题．
14.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则______.
【答案】5
【解析】
分析】
由中位数和平均数的定义可得x，y的值，计算可得结果．
【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；
由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，
乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，
∴x+y=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．
15.已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，，若
，则数列的前100项和为______.
【答案】5050
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，求出首项和公比，即可求出相应的通项公式，又由等差数列求和公式求得结果．
【详解】令数列{an}是首项为（≠0），公比为q的等比数列，
由，可知，
∴，解得q=2或（舍），∴，
，
∴数列的前100项和T100，
故答案为5050.
【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的计算，考查了等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题．
16.直线与抛物线相交于，两点，当时，则弦中点到轴距离的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由定义直接将所求转化为焦点三角形中的问题．
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为（0，），根据抛物线的定义如图，
所求d=
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.的内角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求；
（2）求中的最长边.
【答案】（1）（2）最长边为
【解析】
【分析】
（1）根据tanA和tanB的值计算出tanC.
（2）由（1）可得C为钝角，c边最长，进而根据正弦定理求得c．
【详解】（1）因为.
（2）由（1）知为钝角，所以为最大角，
因为，所以，又，所以.
由正弦定理得：，所以为最大边.
【点睛】本题主要考查了同角的三角函数关系及两角和的正切公式和正弦定理的应用，属于基础题．
18.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1：甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值
频数
1
5
18
19
6
1
图1：乙套设备的样本的频率分布直方图
（1）根据表1和图1，通过计算合格率对两套设备的优劣进行比较；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
不合格品
合计
附：
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：，其中.
【答案】（1）甲套设备优于乙套设备，详见解析（2）填表详见解析，有把握认为该企业的产品质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关
【解析】
【分析】
（1）根据表1和图1分析数据计算出合格率，即可得出结论；
（2）根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.
【详解】（1）根据题目所给的指标值落在内的产品视为合格，可得到：
甲套设备的合格品数为：48，甲套设备的不合格品数为：2.
乙套设备的合格品数为：，
乙套设备的不合格品数为：7，
所以甲套设备生产的合格品的概率约为：，乙套设备生产的合格品的概率约为：，
所以甲套设备优于乙套设备.
（2）由已知数据，得到如下的列联表：
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
，
因为，所以有的把握认为该企业的产品质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
【点睛】本题主要考查了统计与概率的相关知识应用问题，也考查了对数据处理能力的应用问题，考查转化思想以及独立性检验，是一道中档题．
19.在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接．推导出四边形是平行四边形，从而
，由此能证明 平面；．
（2）推导出，，从而平面，进而平面 平面，平面，推导出，从而平面 平面，得点点到平面的距离等于点到平面的距离.，由此能求出三棱锥P-DEF的体积．
【详解】（I）证明：取中点，连接.
在△中，有
分别为、中点
在矩形中，为中点
四边形是平行四边形
而平面，平面
平面
（II）解： 四边形是矩形
，
平面 平面,平面 平面=，平面
平面
平面 平面，平面
，满足
平面 平面
点到平面的距离等于点到平面的距离.
而
三棱锥的体积为.
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题
20.设函数
（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（2）若在上为减函数，求的取值范围。
【答案】（1），切线方程为；（2）.
【解析】
试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．
试题解析：（1）对求导得
因为在处取得极值，所以，即.
当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得
（2）由（1）得，,
令
由，解得.
当时，,故为减函数；
当时，,故为增函数；
当时，,故为减函数；
由在上为减函数，知，解得
故a的取值范围为.
考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．
21.已知椭圆：离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1);(2)为定值.
【解析】
试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于的方程组，过得，从而得到椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程消去，得到关于的方程，再利用韦达定理得到之间的关系，从而得到的关系．
试题解析：（1）由题意得解得故椭圆的方程为．
（2）设，，直线的方程为，由
得．
∴，，
由，，三点共线可知，，所以；
同理可得
所以．
因为，
所以．
考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率．
【方法点睛】解答直线与椭圆的位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式＝或＝解决，往往会更简单．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程为：（为参数）.
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）设曲线，交于点，，已知点，求.
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：（2）
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标和直角坐标、参数方程的互化公式得结果；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得t2-(4t+16＝0，利用参数的几何意义及韦达定理可得结论；
【详解】（1）曲线的极坐标方程可以化为：，
所以曲线的直角坐标方程为：，
曲线的直角坐标方程为：.
（2）曲线的参数方程可化为：（为参数），
将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到：，
整理得：，判别式，
不妨设，的参数分别为，，则，，
又点，所以，，所以，
又因为，，所以，，
.
【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线参数的几何意义，属于中档题．
23.已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）对，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）分类讨论去绝对值分别求得不等式组的解，取并集即可.
（2）根据（1）中去绝对值后的f（x）的解析式，分别分离参数求得相应的最值，解出a的范围取交集即可．
【详解】（1），
令或，解得或，
所以解集为.
（2）当时，恒成立，即恒成立，即，
当时，恒成立，即恒成立，所以，
当时，恒成立，即，所以，
综上：.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的恒成立问题，考查了分类讨论和转化思想，属中档题．