【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4－5第一节绝对值不等式作业 5页

课时跟踪检测（七十二） 绝对值不等式 ‎1．(2019·广东宝安中学等七校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜1；‎ ‎(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，‎ f(x)＝|2x－1|－|x－1|＝ 当x≤时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤；‎ 当＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴＜x＜1；‎ 当x＞1时，x＜1，无解．‎ 综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解⇔|x－a|＜－2x有解⇔2x＜x－a＜－2x有解⇔3x＜a＜－x有解，‎ ‎∵3x＞－3，－x＜1，‎ ‎∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．‎ ‎2．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，g(x)＝|x－a|＋|x＋a|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＞9；‎ ‎(2)∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝ f(x)＞9等价于或或 综上，原不等式的解集为{x|x＞3或x＜－3}．‎ ‎(2)|x－a|＋|x＋a|≥2|a|.由(1)知f(x)≥f＝，‎ 所以2|a|≤，－＜a＜，‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎3．(2019·陕西部分学校摸底测试)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－a|(a∈R)．‎ ‎(1)若a＝1，求不等式f(x)≥5的解集；‎ ‎(2)若函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．‎ 解：(1)若a＝1，‎ 则f(x)＝2|x＋1|＋|x－1|＝ 当x≥1时，3x＋1≥5，即x≥，∴x≥；‎ 当－1＜x＜1时，x＋3≥5，即x≥2，此时x无解；‎ 当x≤－1时，－3x－1≥5，即x≤－2，∴x≤－2.‎ 综上所述，不等式f(x)≥5的解集为.‎ ‎(2)当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|的最小值为0，不符合题意；‎ 当a＞－1时，f(x)＝ ‎∴f(x)min＝f(－1)＝1＋a＝3，此时a＝2；‎ 当a＜－1时，f(x)＝ ‎∴f(x)min＝f(－1)＝－1－a＝3，此时a＝－4.‎ 综上所述，a＝2或a＝－4.‎ ‎4．(2019·惠州模拟)已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x＋1|.‎ ‎(1)当m＝5时，求不等式f(x)＞2的解集；‎ ‎(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)当m＝5时，f(x)＝ 由f(x)＞2得不等式的解集为.‎ ‎(2)二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，‎ 该函数在x＝－1处取得最小值2，‎ 因为f(x)＝ 在x＝－1处取得最大值m－2，‎ 所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点，‎ 只需m－2≥2，即m≥4.‎ 所以实数m的取值范围为[4，＋∞)．‎ ‎5．(2019·长春模拟)设不等式||x＋1|－|x－1||＜2的解集为A.‎ ‎(1)求集合A；‎ ‎(2)若a，b，c∈A，求证：＞1.‎ 解：(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|‎ ‎＝ 由|f(x)|＜2得－1＜x＜1，‎ 即A＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)证明：要证＞1，只需证|1－abc|＞|ab－c|，‎ 只需证1＋a2b2c2＞a2b2＋c2，‎ 只需证1－a2b2＞c2(1－a2b2)，‎ 只需证(1－a2b2)(1－c2)＞0，‎ 由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1，‎ 所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立．‎ 综上，＞1.‎ ‎6．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．‎ ‎(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎(2)当a＜时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)∵f(x)＝|x－a|＋(a≠0)，‎ ‎∴f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，‎ ‎∴f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，‎ ‎∴|m|≤1，∴－1≤m≤1，∴实数m的最大值为1.‎ ‎(2)当a＜时，‎ g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋ ‎＝ 又函数g(x)有零点，‎ ‎∴g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，‎ ‎∴或∴－≤a＜0，‎ ‎∴实数a的取值范围是.‎ ‎7．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ 当x＜－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；‎ 当－1≤x≤2时，显然满足题意；‎ 当x＞2时，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，‎ 故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.‎ 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．‎ 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.‎ 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.‎ 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．‎ ‎8．(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，‎ 由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，‎ 当x＞1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；‎ 当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；‎ 当x＜－时，1－x＋(2x＋1)≥0，得－2≤x＜－.‎ ‎∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．‎ ‎(2)法一：由|x－a|＋3x≤0，‎ 可得或 即或 当a＞0时，不等式的解集为.‎ 由－＝－1，得a＝2.‎ 当a＝0时，不等式的解集为，不合题意．‎ 当a＜0时，不等式的解集为.‎ 由＝－1，得a＝－4.‎ 综上，a＝2或a＝－4.‎ 法二：当x≥a时，f(x)＝4x－a，函数f(x)为增函数，‎ 由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}得，‎ f(－1)＝4×(－1)－a＝0，得a＝－4.‎ 当x＜a时，f(x)＝2x＋a，函数f(x)为增函数，‎ 由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}得，‎ f(－1)＝2×(－1)＋a＝0，得a＝2.‎ 经检验，a＝2或a＝－4都符合题意，‎ 故a的值为2或－4.‎