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- 2021-04-25 发布
专题一 第5讲 导数及其应用
课时训练提能
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝
A．－e B．－1
C．1 D．e
解析 f′(x)＝2f′(1)＋，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1.故选B.
答案 B
2．(2012·泉州模拟)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A．3 B．2
C．1 D.
解析 设切点为(x0，y0)．
∵y′＝x－，
∴x0－＝，
解得x0＝3(x0＝－2舍去)．
答案 A
3．(2012·聊城模拟)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是
A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy
解析 两函数图象的交点坐标是(0,1)，(1,1)，
故积分上限是1，下限是0，
由于在[0,1]上，x≥x2，故求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面S＝(x－x2)dx.
答案 B
4．函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是
A. B.
C．(－∞，0] D.
解析 当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在(0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤ln 2.
答案 D
5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是
解析 设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1、x2，则x1x2＝＝1，D中图象一定不满足该条件．
答案 D
6．设a∈R，若函数f(x)＝eax＋3x(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是
A．(－3,2) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－3,4)
解析 由已知得f′(x)＝3＋aeax，若函数f(x)在x∈R上有大于零的极值点，则f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln，由x＞0得到参数a的取值范围为a＜－3.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2012·济南三模)曲线y＝ex＋x2在点(0,1)处的切线方程为________．
解析 y′＝ex＋2x，∴所求切线的斜率为e0＋2×0＝1，
∴切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
答案 x－y＋1＝0
8．(2012·枣庄市高三一模)dx＝________.
解析 dx表示圆x2＋y2＝4中阴影部分的面积的大小，易知∠AOB＝，OC＝1，
∴dx＝S△OBC＋S扇形AOB
＝×1×＋××22＝＋.
答案 ＋
9．(2012·泉州模拟)若函数f(x)＝x－a＋ln x(a为常数)在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x－a＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝1－≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2＋.
而2＋≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝1时等号成立，∴a≤4.
答案 (－∞，4]
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．(2012·泉州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处有极值为10，求b的值；
(2)若对任意a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．
解析 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
则⇒或.
当时，f′(x)＝3x2＋8x－11，
Δ＝64＋132＞0，所以函数有极值点；
当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．
则b的值为－11.
(2)解法一 f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
则F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．
∵x≥0，F(a)在a∈[－4，＋∞)单调递增或为常数函数，
所以得F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0对任意的x∈[0,2]恒成立，即b≥(－3x2＋8x)max，
又－3x2＋8x＝－32＋≤，
当x＝时，(－3x2＋8x)max＝，得b≥，
所以b的最小值为.
解法二 f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
即b≥－3x2－2ax对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，即b≥(－3x2－2ax)max，
令F(x)＝－3x2－2ax＝－32＋.
①当a≥0时，F(x)max＝0，∴b≥0；
②当－4≤a＜0时，F(x)max＝，∴b≥.
又∵max＝，∴b≥.
综上，b的最小值为.
11．已知函数f(x)＝exln x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设x＞0，求证：f(x＋1)＞e2x－1；
(3)设n∈N＋，求证：ln(1×2＋1)＋ln(2×3＋1)＋…＋ln[n(n＋1)＋1]＞2n－3.
解析 (1)由题知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＝exln x(ln x＋1)．
令f′(x)＞0，解得x＞；
令f′(x)＜0，解得0＜x＜.
故f(x)的增区间为，减区间为.
(2)证明 要证f(x＋1)＞e2x－1，即证(x＋1)ln(x＋1)＞2x－1⇔ln(x＋1)＞⇔ln(x＋1)－＞0.
令g(x)＝ln(x＋1)－，
则g′(x)＝－＝，
令g′(x)＝0，得x＝2，
且g(x)在(0,2)上单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(2)＝ln 3－1，
故当x＞0时，有g(x)≥g(2)＝ln 3－1＞0，
即f(x＋1)＞e2x－1得证．
(3)证明 由(2)得ln(x＋1)＞，
即ln(x＋1)＞2－，
所以ln[k(k＋1)＋1]＞2－＞2－，
所以ln(1×2＋1)＋ln(2×3＋1)＋…＋ln[n(n＋1)＋1]
＞＋＋…＋＝2n－3＋＞2n－3.
12．设函数f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R*
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．
解析 (1)当x∈(0,1]时，f′(x)＝－a·＋1.
要使f(x)在x∈(0,1]上是增函数，
需使f′(x)＝－＋1≥0在(0,1]上恒成立．
即a≤＝ 在(0,1]上恒成立．
而 在(0,1]上的最小值为，
又a∈R*，∴0＜a≤为所求．
(2)由(1)知：
①当0＜a≤时，f(x)在(0,1]上是增函数．
∴[f(x)]max＝f(1)＝(1－)a＋1；
②当a＞时，令f′(x)＝0，得x＝ ∈(0,1]．
∵0＜x＜ 时，f′(x)＞0；
∵ ＜x≤1时，f′(x)＜0.
∴[f(x)]max＝f＝a－.
综上，当0＜a≤时，[f(x)]max＝(1－)a＋1；
当a＞时，[f(x)]max＝a－.