2019高考数学（理）冲刺大题提分（讲义+练习）大题精做11 圆锥曲线：存在性问题（理） 5页

圆锥曲线：存在性问题 大题精做十一 精选大题 ‎[:]‎ ‎[2019·株洲一模]已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，‎ 且轴，的周长为6．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，．‎ ‎【解析】（1）由题意，，，，‎ ‎∵的周长为6，∴，‎ ‎∴，，∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）假设存在常数满足条件．‎ ‎①当过点的直线的斜率不存在时，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，；‎ ‎②当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，‎ 联立，化简得，‎ ‎∴，．‎ ‎·5·‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，解得，即时，；‎ 综上所述，当时，．‎ 模拟精做 ‎1．[2019·宜昌调研]已知椭圆的离心率为，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点．‎ 问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎2．[2019·江西联考]已知点为抛物线的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线与抛物线交于不同的两点，，是否存在实数及定点，对任意实数，‎ 都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎·5·‎ ‎3．[2019·哈三中期末]在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，‎ 当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）试问在上是否存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标 原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ 答案与解析 ‎1．【答案】（1）；（2）存在直线或．‎ ‎【解析】（1）∵，，且有，解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由题可知的斜率一定存在，设为，设，，‎ 联立，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴为线段的中点，∴……④，‎ 将④代入②解得……⑤‎ 将④代入③得……⑥‎ ‎·5·‎ 将⑤代入⑥解得……⑦‎ 将⑦式代入①式检验成立，‎ ‎∴，即存在直线或合题意．‎ ‎2．【答案】（1）；（2）存在及点，对任意实数，都有．‎ ‎【解析】（1）由得点横坐标为，‎ 由抛物线定义及得，，所以，‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）假设存在实数及定点，对任意实数，都有，‎ 设，，，‎ 联立，得，‎ 则，，，‎ 由，得 ‎[:.]‎ ‎，‎ 所以，，，当时不满足题意，所以，‎ 即存在及点，对任意实数，都有．‎ ‎3．【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）设，则点，‎ 将代入圆，可得，‎ ‎·5·‎ 的方程为．‎ ‎（2）显然，直线存在斜率，设直线的方程为，‎ 联立，消去并整理得，‎ ‎，化为，‎ 设，，则，，‎ 依题意，可得，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 由的中点在直线上，‎ ‎，‎ ‎，化为，‎ 把代入化为，解得（舍去）或，‎ ‎，解得，满足，即满足，‎ 在上存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点，‎ 直线的方程为．‎ ‎·5·‎