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- 2021-04-24 发布
第08节 函数与方程
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
函数与方程
理解函数零点的概念
2013•浙江文11；
2014•浙江文理15.
1.分段函数与函数方程结合；
2.二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.
3.备考重点：
（1）函数方程个概念
（2）基本初等函数的图象和性质；
【知识清单】
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
对点练习
【2017甘肃天水一中模拟】已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令有两个交点，故选C.
2.零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
对点练习
【2017河北武邑中学模拟】方程，的根存在的大致区间是（ ）
A． B．
C. D．
【答案】B
【考点深度剖析】
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.对于函数与方程，常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数．复习中要注意应用数形结合思想，根据具体函数的图象，讨论方程解的情况．
【重点难点突破】
考点1 方程根所在区间和根的个数问题
【1-1】方程的解的个数为（ ）
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5
【答案】B
【解析】本题中方程不可解，但方程解的个数可以借助于函数和的图象的交点的个数来解决，作出这两个函数的图象（如图），，，但当时，，而，故两个函数图象有三交点，即原方程有三个解．
【1-2】函数的零点所在区间是( )
A. B. C． D．
【答案】C
【解析】f＝1－log2＝1＋＝＞0，f＝1－log2＝1＋＝＞0，
f(1)＝1－0＝1＞0，f(2)＝1－2log22＝－1＜0，由f(1)f(2)＜0知选C。
【1-3】【2017浙江杭州4月二模】设函数的两个零点为， ，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【1-4】已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A． B． C． D．的符号不确定
【答案】C
【解析】∵在上是增函数，又是函数的零点，即，∴当时，．
【领悟技法】
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【触类旁通】
【变式一】函数f(x)＝的零点个数是________.
【答案】2
的零点个数为2.
【变式二】已知函数的零点为x0，则所在的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
【答案】C
【解析】∵在(0，＋∞)上是增函数，
又，
，.
故f(x)的零点.
【变式三】【2017四川双流中学模拟】函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【解析】当时,是函数的一个零点,当时,恒成立,即恒成立,故,因此选A.
考点2 函数零点的应用
【2-1】已知，若存在实数，使函数
有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】.
【2-2】【2017云南昆明调研】已知定义在R上的偶函数满足，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程有三个不同的实根，求a的取值范围.
【答案】
【解析】
由知，函数的周期T＝4.
又为偶函数，
∴，
因此函数的图象关于x＝2对称.
【2-3】【2017贵州贵阳一中检测】已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，0)
C.(－1，0) D.[－1，0)
【答案】D
【解析】当时，有一个零点.
因此当时，只有一个实根，∴，则.
【领悟技法】
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【触类旁通】
【变式一】【2017湖北七校联考】已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B. C.－ D.－
【答案】C
【解析】令，则，因为是R上的单调函数，所以，只有一个实根，即只有一个实根，则，解得
【变式二】已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( )
A.[0，1) B.(－∞，1)
C.(－∞，1]∪(2，＋∞) D.(－∞，0]∪(1，＋∞)
【答案】D
【易错试题常警惕】
易错典例：若函数在区间上的图象是连续不断的曲线，且在内有一个零点，则的值 ( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
易错分析：本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当在(－2,2)内有一个零点，和的符号不能确定．
正确解析：若函数在(－2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则，否则，，因此，选D.
温馨提醒：对函数零点存在的判断需注意以下三点：①函数在上连续．②满足.③在内存在零点．上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解．另外需注意的是：(1)若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点．(2)函数的零点不是点，它是函数与轴交点的横坐标，是方程的根．
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.
利用函数处理方程解的问题，方法如下：
(1)方程f(x)＝a在区间I上有解⇔a∈{y|y＝f(x)，x∈I}⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．
(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．
一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．
【典例】【典例】偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】由f(x－1)＝f(x＋1)，可知T＝2.∵x∈[0,1]时，f(x)＝x，又∵f(x)是偶函数，∴可得图象如图．∴f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是4.故选D.