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- 2021-04-24 发布
2018届高考数学（理）大题狂练
命题角度2：函数的单调性与极值、最值的综合应用
1.已知函数，.
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）探究函数的极值点情况，并说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求导数，转化研究函数,利用导数易得先减后增，讨论与两个端点值以及最小值点大小关系，确定极值点情况.
（i）当，即时，恒成立，函数在区间上无极值点；
（ii）当，即时，有两不同解，函数在上有两个极值点；
（iii）当，即时，有一解，函数在区间上有一个极值点；
（iv）当，即时，，函数在区间上无极值点.
2.已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极小值，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)利用导函数可得切线的斜率为，然后由点斜式可得切线方程为；
(2)首先对g(x)求导，然后分类讨论可得实数 的取值范围为 .
①当 时， ，函数单调递增，所以当 时， ，当时， ，所以 在处取得极小值，满足题意.
②当时， ，当 时， ，故函数单调递增，可得当 时， 时， ，所以 在处取得极小值，满足题意.
③当时，当 时， ， 在内单调递增， 时， 在内单调递减，所以当时， 单调递减，不合题意.
④当时，即，当 时， 单调递减， ，当时， 单调递减， ，所以在处取得极大值，不合题意. 综上可知，实数 的取值范围为 .
3.设函数（），，
(Ⅰ) 试求曲线在点处的切线l与曲线的公共点个数；
(Ⅱ) 若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．
（附：当，x趋近于0时， 趋向于）
【答案】（1）两个公共点；（2）．
【解析】试题分析：（1）计算出及，根据点斜式可得切线方程，将切线方程与联立可得方程，设，对其求导，可得其在内的单调性，结合， ，可得零点个数；（2）题意等价于在至少有两不同根，当时， 是的根，根据图象的交点可知有一个零点，除去同根；当显然不合题意；当时，题意等价于在至少有两不同根，对其求导判断单调性，考虑极值与两端的极限值可得结果.
试题解析：（1）∵， ，
切线的斜率为，
∴切线的方程为，即，
联立，得；
设，则，
由及，得或，
∴在和上单调递增，可知在上单调递减，
又， ，所以， ，
∴方程有两个根：1和，从而切线与曲线有两个公共点．
②当时， 在仅一根，所以不合题意；--9分
③当时，需在至少有两不同根，
由，得，所以在上单调递增，
可知在上单调递减，
因为， 趋近于0时， 趋向于，且时， ，
由题意知，需，即，解得，
∴．
综上知， ．
4.已知函数.
（1）若是的单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，求证：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（1）函数单调递增等价于导函数，再利用变量分离转化为求对应函数最值问题： 的最大值，最后根据导数求对应函数最值，即得实数的取值范围；(2)实质证明函数 当时先减后增，也即函数有极小值点，并在此极小值点处取最小值，此时要用零点存在定理说明极值点存在.求出函数极小值表达式，即最小值表达式，利用导数研究最小值表达式单调性，并根据极小值点范围确定最小值取值范围.
试题解析：（Ⅰ）
∵函数在区间上单调递增，
. ∴，∴，
令， ，
∴，∴.
（Ⅱ） ∴
∴
∴， ， ，
，
，∴．
由（Ⅰ）知在上单调递减，
，且，∴．
∴，
，
∴， ,
∴的最小值的取值范围是．
5.已知函数．
（1）当， 取一切非负实数时，若，求的范围；
（2）若函数存在极大值，求的最小值．
【答案】（1）（2）
试题解析：（1）当时， ， 恒成立等价于恒成立，令， ， ，当时， 恒成立，即在内单调递减，故，可得在内单调递减，故.
（2），
①当时， ，所以，所以在上为单增函数，无极大值；
②当时，设方程的根为，则有，即，所以在上为增函数，在上为减函数，所以的极大值为
，即，因为，所以，令则，
设，则，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以得最小值为，即的最小值为-1，此时．
点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
6.已知函数，其中.
（1）若在上存在极值点，求的取值范围；
（2）设， ，若存在最大值，记为，则当时， 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，且存在最大值为．
【解析】试题分析：
(1)函数存在极值点，将问题转化为导函数有根，且不为重根，据此分离系数，结合对勾函数的性质和函数的定义域求解实数 的取值范围即可；
(2)分类讨论，当 时， 不存在最大值，
当 时，由根与系数的关系求得 的解析式，结合 的式子构造新函数 ，利用新函数的性质结合题意即可求得 的最大值.
解：
（1）， .
由题意，得，在上有根（不为重根）.
即在上有解.
由在上单调递增，得.
检验：当时， 在上存在极值点.
∴.
（2）若，∵在上满足，
∴在上单调递减，∴.
∴不存在最大值.
则.
∴方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设
则.
在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，
对，有；对，有，
∴.
∴
.
将， 代入上式，消去得
∵，∴， .
据在上单调递增，得.
设， .
， .
∴，即在上单调递增.
∴
∴存在最大值为.
点睛：可导函数在点 处取得极值的充要条件是，且在 左侧与右侧的符号不同．若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．
7.已知函数.
（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）函数存在单调递减区间，等价于在上有解，即在上有解，根据实根分布可得解不等式可得实数的取值范围；（2）为两根，所以代入消化简得．令，转化研究函数
最小值，先根据，确定自变量取值范围： ，再利用导数研究函数单调性： 在上单调递减，进而确定函数最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以，
又因为在上有解，
令，则，
只需
解得即．
（Ⅱ）因为，令，即，
两根分别为，则
又因为
．
令，由于，所以．
又因为， ，
即即，
所以，解得或，即．
令，
，
所以在上单调递减，
．
所以的最小值为．
点睛：导数与函数的单调性
(1)函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则在该区间为增函数；如果，则在该区间为减函数.
(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.
8.已知函数， .
（1）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；
（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负.
【答案】（1）;（2）见解析.
【解析】【试题分析】（１）先分离参数，再构造函数运用导数求函数的最值；（２）借助导数与函数的单调性之间的关系，运用分类整合思想进行分析求解：
（2）， ，∴.
设，则.由，得.
当时， ；当时， . ∴在上单调递增，在上单调递减.且， ， .显然.
结合函数图像可知，若在上存在极值，则或.
（ⅰ）当，即时，
则必定，使得，且.
当变化时， ， ， 的变化情况如下表：
极小值
极大值
∴当时， 在上的极值为，且.
∵.
设，其中， .
∵，∴在上单调递增， ，当且仅当时取等号.
∵，∴.∴当时， 在上的极值.
（ⅱ）当，即时，则必定，使得.
易知在上单调递增，在上单调递减.此时， 在上的极大值是，且.
∴当时， 在上极值为正数.综上所述：当时， 在上存在极值.且极值都为正数.
注：也可由，得.令后再研究在上的极值问题.
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先将函数解析式中的参数分离出来，再构造函数，运用导数知识求该函数的最值；解答本题的第二问时，充分借助题设条件，运用导数与函数的单调性之间的关系及分类整合思想进行分析求解，从而使得问题获解。
9.已知函数.
（I）讨论函数的单调性,并证明当时， ;
（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：（1）由得
故在上单调递增，
当时，由上知，
即，即，得证.
（2）对求导，得， ．
记， ．
由（Ⅰ）知，函数区间内单调递增，
又， ，所以存在唯一正实数，使得．
于是，当时， ， ，函数在区间内单调递减；
当时， ， ，函数在区间内单调递增．
所以在内有最小值，
由题设即．
又因为．所以．
根据（Ⅰ）知， 在内单调递增， ，所以．
令，则，函数在区间内单调递增，
所以，
即函数的值域为．
10.设函数,其中
(Ⅰ)求的单调区间；
（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证: ；
（Ⅲ）设，函数，求证： 在区间上最大值不小于.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（1）求单调区间，先求导解导数大于零求递增区间，导数小于零求递减区间，但要注意a的取值对导数符号得影响（2）函数存在极值点，即将代入导函数等于零，又所以从而得证（3）求最值先分析函数单调性即可，然后讨论在区间得极值和端点值大小来确定最大值，再验证其不小于即可
试题解析：
（Ⅰ）由，可得，
下面分两种情况讨论：
（1）当时，有恒成立，所以单调递增区间为
（2）当时，令，解得，或，
当变化时， 的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递减区间为，单调递增区间为
（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即
进而
又
,且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；
（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为, 表示两数的最大值，下面分三种情况讨论：
（1）当时， ，由（Ⅰ）知， 在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此
所以
（2）当时， ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， ，
所以在区间上的取值范围为，
因此