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- 2021-04-23 发布
兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题
数 学（理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设函数在处可导，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
5.某次志愿活动，需要从6名同学中选出4人负责A、B、C、D四项工作（每人负责一项），若甲、乙均不能负责D项工作，则不同的选择方案有（ ）
A.96种 B.144种 C.240种 D.300种
6.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时 从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知都是定义在上的函数，，，且,且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
9.函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是（ ）
A.10 B.9 C.8 D.
10.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.定义在R上的函数满足:的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A. B. C. D.
12.定义在R上的可导函数 ，当x∈(0,1)时取得极大值，当
x∈(1, 2)时，取得极小值，若(1﹣t)a+b+t﹣3＞0恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A. B. C.(2，+∞） D. [2，+∞）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众做了一项预测：
说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．
说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．
说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．
比赛结果出来后，发现三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是__________．
14.计算 =__________．
15.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为_________________
16题图
16.如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第个几何体的表面积是______________个平方单位.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
（1）用分析法证明：；
（2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.
18.（本小题满分12分）
已知关于的方程有实数根b.
（1）求实数的值;
（2）若复数满足.求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.
19.（本小题满分12分）
设，是否存在使等式：
对任意都成立，并证明你的结论．
20.（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1）当时，求曲线的点处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为－2，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知二次函数
直线l2与函数的图象以及直线l1、l2与函数的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为
（1）求函数的解析式；
（2）定义函数的三条切线，求实数m的取值范围.
22.（本小题满分12分）
设函数.
（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；
（2）若函数在其定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若，证明对任意的正整数，.
兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题
数 学(理科)
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设函数在处可导，且，则等于（C ）
A. B. C. D .
2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ A ）
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数为，且满足，则（A ）
A. B. C. D.
4.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（C ）
A. B.
C. D.
5.某次志愿活动，需要从6名同学中选出4人负责A、B、C、D四项工作（每人负责一项），若甲、乙均不能负责D项工作，则不同的选择方案有（ C ）
A.96种 B.144种 C.240种 D.300种
6.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ D ）
A. B. C. D.
7.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时 从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是（ B ）
A. B.
C. D.
8.已知都是定义在上的函数,,，且,且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（ A ）
A.6 B.7 C.8 D.9
9.函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是（ B ）
A.10 B.9 C.8 D.
10.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
11.定义在R上的函数满足:的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( B )
A. B. C. D. []
12.定义在R上的可导函数 ，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1， 2）时，取得极小值，若（1﹣t）a+b+t﹣3＞0恒成立，则实数t的取值范围为（ D ）
A. B. C.（2，+∞） D. [2，+∞）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众做了一项预测：
说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．
说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．
说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．
比赛结果出来后，发现三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是____甲______．
14.计算 =__________．
15.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为__84_________
16题图
16.如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第个几何体的表面积是_3n(n+1)__ 个平方单位.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
（1）用分析法证明：；
（2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.
解：（1）因为和都是正数，所以要证，
只要证，
展开得，
只要证，
只要证，
因为成立，所以成立.
（2）假设这三个数没有一个大于或等于，
即，
上面不等式相加得（1）
而，与(1)矛盾,假设不成立,原命题正确.
18.（本小题满分12分）
已知关于的方程有实数根b;
（1）求实数的值.
（2）若复数满足.求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.
解：（1）∵是方程的实根
∴
∴解得
（2）设，其对应点为
由得：即
∴点的轨迹是以O1（－1，1）为圆心，为半径的圆，如图所示,当点在OO1的连线上时, 取到最值∵
∴当时，有最小值，且
19.（本小题满分12分）
设，是否存在使等式：
对任意都成立，并证明你的结论．
解析：（I）由得：，，，
当时,,得．
当时,,得．
当时,,得.
猜想：．
下面证明：对任意都成立
证明：（1）当时，已验证成立．
（2）假设（，）时成立，
即
当时，
左边=
所以,左边=
即当命题也成立．
综上，当时，等式对任意的都成立．
20.（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1）当时，求曲线的点处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为－2，求的取值范围.
解析：（1）当时，，
∴，∴.
∴切线方程为.
（2）函数的定义域为，
当时，，
令得或.
①当，即时，在上递增.
∴在上的最小值为，符合题意；
②当，即时，在上递减，在上递增，
∴在上的最小值为，不合题意；
③当，即时，在上递减，
∴在上的最小值为，不合题意；
综上，的取值范围是.
21.（本小题满分12分）
已知二次函数
直线l2与函数的图象以及直线l1、l2与函数的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为
（1）求函数的解析式；
（2）定义函数的三条切线，求实数m的取值范围.
（1）由
所以
所以
因为
分别为
的图象的交点的横坐标
与
所以直线
所以
.
2
6
)
1
(
]||
2
)
1
(
3
[
]| |
2
)
1
(
3
[
]
3
)
3
3
[(
)]
3
3
(
3
[
)
(
.
2
1
1
,
1
0
.
1
,
0
)
(
.
1
,
0
3
2
1
2
3
1
0
3
2
2
1
2
1
0
2
2
2
1
+
-
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+
-
+
-
+
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-
-
+
-
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<
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+
+
+
+
ò
ò
t
t
x
t
x
x
x
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dx
tx
x
x
dx
x
x
tx
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S
t
t
t
x
f
l
t
x
x
t
t
t
t
（2）依据定义，
.
1
1
,
0
)
(
.
6
6
)
(
,
6
2
)
(
.
0
6
2
,
1
2
6
)
1
(
6
)
1
(
3
),
,
(
,
)
(
.
)
(
)
,
1
(
,
4
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
0
3
0
0
0
3
0
2
0
0
0
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<
>
>
¢
-
=
¢
+
-
=
=
+
-
-
-
+
-
+
=
-
+
=
=
¹
x
x
x
g
x
x
g
m
x
x
x
g
m
x
x
x
m
x
x
x
y
x
M
x
h
y
A
x
h
y
m
A
m
或
得
由
则
设
有三个不等实根
化简整理得
则
设切点为
的切线
作曲线
过点
上
不在曲线
则点
因为
.
)
1
,
1
(
,
)
,
1
(
),
1
,
(
)
(
0
上单调递减
在
上单调递增
在区间
所以
-
+¥
-
-¥
x
g
1
所以，当当
因此，关于x0的方程
故实数m的取值范围是（－4，4）.
22.（本小题满分12分）
设函数.
（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；
（2）若函数在其定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若，证明对任意的正整数，.
解：（1）由,得．∴的定义域为．
因为对x∈,都有，∴是函数的最小值，故有．
解得．
经检验，时，在上单调减，在上单调增．为最小值．故得证．
（2）∵又函数在定义域上是单调函数，
∴或在上恒成立．
若，则 在上恒成立,
即=恒成立,由此得；
若,则 在上恒成立,
即=恒成立．
因在上没有最小值，∴不存在实数使恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
（3）当时，函数．
令，
则．
当时，，所以函数在上单调递减．
又，当时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
而，．取，则有．
．所以结论成立．