2018-2019学年广东省佛山市三水区实验中学高一下学期第一次月考数学试题 11页

‎ ‎ ‎2018-2019学年广东省佛山市三水区实验中学高一下学期第一次月考数学试题 时间：120分钟，满分150分 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知向量，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ 2. 在中，己知，则角A的值为　　‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎3. 已知等差数列中，，则    ‎ A. 30 B. 20 C. 40 D. 50‎ ‎4. 已知，，，则　　‎ A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 5. 等差数列的前3项和为20，最后3项和为130，所有项的和为200，则项数n为    ‎ A. 8 B. 6 C. 5 D. 4‎ ‎6. 在中，若，则是(    )‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ‎7. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以 的速度沿AD方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ）‎ A. B.‎ C. D. ‎ 8. 等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为　　‎ A. 130 B. 210 C. 170 D. 260‎ 9. 在中，内角A，B， C的对边分别是a，b，c，若，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，的面积为，则   ‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ 11. 若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为　　‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 12. 已知数列的前n项和满足：，已知，，则下面结论错误的是　　‎ A. ，B. C. 与均为的最大值 D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 13. 在中，已知，，，则角C为______________‎ ‎14. 已知平面向量，，且，则实数x的值为__________‎ 15. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”这个问题中，前5天一共应发大米____________升 ‎16. 如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若，，，， ，则四边形ABCD面积是______ ． ‎ 三、 解答题：（共70分）‎ ‎17. （10分）记为等差数列的前n项和，已知， 求的通项公式； 求，并求的最小值．‎ 18. ‎（12分）在中，角的对边分别为，且， 求角B的大小； 若，，求c边的长和的面积 18. ‎（12分）已知向量不共线，且满足，．‎ 若，求实数k的值；‎ ‎ 若．‎ ‎① 求向量与夹角的余弦值；‎ ‎② 当时，求实数k的值．‎ ‎   ‎ 19. ‎（12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里时，该救援船到达D点需要多长时间？ ‎ 20. ‎ （12分）若数列的前n项和为，且满足，． 求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ 求数列的通项公式．‎ ‎（3）设+++…+，求 ‎    ‎ ‎ ‎ 18. 已知，，是直线上的n个不同的点，均为非零常数，其中数列为等差数列．‎ 求证：数列是等差数列；‎ 若点P是直线l上一点，且，求证：；‎ 设，且当时，恒有和j都是不大于n的正整数，且试探索：若O为直角坐标原点，在直线l上是否存在这样的点P，使得成立？请说明你的理由．‎ ‎2018-2019学年第二学期三水实验中学高一第一学月考试 数学试题答案 AABD ADCB CBAC ‎ ​ ‎ ‎11. 解：因为， 即； 又因为， 所以， 即， 所以是等腰三角形． 故选A． 12. 解：等差数列的前n项和是，且，， ，即， ，即，． 等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，则，． 为的最大值． 故A，B，D正确，错误的是C．‎ ‎15. 解：第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，‎ 第5天派出：人， 前5天共派出S5人， 前5天应发大米：升．‎ ‎16. 解： 连接BD， 在中，，‎ 在中，． ， ， ． ． ． 四边形ABCD的面积 故答案为．‎ ‎17. 【答案】解：等差数列中，，， ，，解得，， ； ，，， ， 当时，前n项的和取得最小值为．‎ ‎18. 【答案】解：，由正弦定理得 所以，‎ 又 ，则角B为锐角，所以；       ‎ 因为，，‎ 由余弦定理得    ‎ 解得或舍，     ‎ 的面积．‎ ‎19. 【答案】解：，且 ‎ 令，                                       ‎ 即 又不共线，所以，‎ 所以                                       ‎ 设与夹角为 ‎             ‎ 又 ‎                                        ‎ ‎，，‎ ‎      ‎ ‎ ‎ 又，‎ ‎   ‎ ‎20. 【答案】解：由题意知海里，， ，． 在中，由正弦定理，得， ‎ 海里． 又，海里， 在中，由余弦定理，得 ， 海里，需要的时间小时． 故救援船到达D点需要1小时．‎ ‎21. 【答案】证明：，2，， ， 又，是以2为首项，2为公差的等差数列； 解：由，，，‎ 当时，或时，，‎ 当时，， ．‎ ‎(3) 由（2）知，当时，‎ ‎+++…+‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. 【答案】 证明：设等差数列的公差为d，‎ 因为，‎ 所以为定值，‎ 即数列也是等差数列 ‎ 证明：因为点P、和都是直线l上一点，‎ 故有，‎ 于是，‎ 即，‎ 所以，‎ 令，‎ 则有 ‎  解：假设存在点满足要求，‎ 则有，‎ 又当时，恒有，‎ 则又有，‎ 所以，‎ 又因为数列成等差数列，‎ 于是，‎ 所以，‎ 故，‎ 同理，‎ 且点在直线上是、的中点，‎ 即存在点满足要求．‎