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- 2021-04-23 发布
数学试卷
一、选择题
1.直线的倾斜角大小是( )
A． B． C． D．
2.焦点坐标为，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为( )
A． B． C． D．
3.已知圆关于直线对称，则k的值为( )
A． B．1 C．或1 D．0
4.记为等比数列的前n项和．已知，则公比q为( )
A． B．1 C． D．1或
5.直线，若，则a的值为( )
A．或2 B． 3或 C． D．2
6.在等比数列中，是方程的两根，则( )
A. 1 B. C. D.
7.已知椭圆的两个焦点是，点P在该椭圆上，若，则的面积是( )
A. B.2 C. D.
8.已知数列满足，且，若，记数列的前n项和为,则( )
A. B． C. D．
9.圆与动圆C外切,圆与动圆C内切，则动圆的圆心C的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
10.已知数列满足,且对任意都有
,则实数t的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.直线l是圆过点的切线，P是圆上的动点，则( )
A．直线l方程为或 B．直线l方程为
C．点P到直线l的距离最小值为1 D．点P到直线l的距离最小值为
12.已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )
A． B． C． D．
13.设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点0，而且与椭圆相交于两点，M为线段的中点。下列结论正确的是( )
A.直线与垂直；
B.若点M坐标为，则直线方程为；
C.若直线方程为，则点M坐标为
D.若直线方程为，则.
二、填空题
14.直线过定点___________，过此定点倾斜角为的直线方程为___________.
15.在平面直角坐标系中 ，,P是动点，且直线与的斜率之积等于，动点P的轨迹方程C为________，直线与轨迹C的公共点的个数为__________.
16.设数列的前n项和分别为，其中,使成立的最大正整数n为__________,__________．
17.在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点, ，若椭圆上存在一点P,使得，则m的范围是______,；当m取得最大值时，椭圆的离心率为_______
三、解答题
18.已知直线l经过直线与直线的交点P．
（Ⅰ）若直线l平行于直线，求直线l的方程．
（Ⅱ）若直线l垂直于直线，求直线l的方程．
19.已知圆C的圆心在直线上，圆C经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线l过点且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程．
20.在等比数列中，公比，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，当取最大值时，求n的值．
21.设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与E相交于两点，且成等差数列
（Ⅰ）求的周长；
（Ⅱ）求的长；
（Ⅲ）若直线的斜率为1，求b的值．
22.已知P点坐标为，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交E于点Q，是等腰直角三角形，且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
23.数列的前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和，并求使成立的实数m最小值．
参考答案
1.答案：D
解析：由题意得，直线可化为
∴直线的斜率为
∴直线的倾斜角大小是
综上所述，答案选择：D
2.答案：C
解析：由题意得，且焦点在y轴上，∴，
∴椭圆的标准方程为：，
故选：C.
3.答案：A
解析：化圆为.
则圆心坐标为，
∵圆关于对称，
∴，得.
当时,，不合题意，
∴.
故选：A.
4.答案：D
解析：∵，
①当时,，满足条件。
②当时,可得解得.
综上可知：或.
故选：D
5.答案：C
解析：
6.答案：B
解析：∵是方程的两根，
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴.
故选B.
7.答案：A
解析：∵椭圆的两个焦点是，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴是斜边为的直角三角形，
∴的面积.
故选A.
8.答案：C
解析：
9.答案：B
解析：
10.答案：D
解析：
11.答案：BD
解析：
12.答案：AD
解析：一定是等比数列故A正确
,是等比数列，故D正确
13.答案：BD
解析：
14.答案：；
解析：直线化为：，
∴，
解得，
∴直线过定点，
过此定点倾斜角为的直线方程为.
故答案为：，.
15.答案：;0
解析：设，
∵，
∴，
由,得.
即.
∴动点P的轨迹方程为.
直线与轨迹C的公共点的个数为：0.
故答案为：；0.
16.答案：6;114
解析：根据题意，数列中，，则数列为首项为17，公差为的等差数列，
且当时，，当时，，
又由，当时，，当时，，
则使成立的最大正整数为6，
，
综上所述，答案：6；114.
17.答案：
解析：显然椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的半焦距为c,则，
故B为椭圆的下焦点,设椭圆的上焦点为，
则由椭圆定义可知，
∵，∴，
于是，
又，
∴,解得：,即，
∴.
又在椭圆内部,∴，又，
解得.
综上可得：.
当m取得最大值25时,此时椭圆的离心率为
故答案为：
18.答案：（1）由，解得，则点．
由于点，且所求直线l与直线平行，
设所求直线l的方程为，
将点p坐标代入得，解得．
故所求直线l的方程为．
（II）由于点，且所求直线l与直线垂直，
可设所求直线l的方程为．
将点p坐标代入得，解得．
故所求直线l的方程为
解析：
19.答案：（1）设圆心为M，则M应在的中垂线上，其方程为，
由，即圆心M坐标为
又半径，
故圆的方程为．
（2）点在圆内，且弦长为，故应有两条直线符合题意，
此时圆心到直线距离．
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线距离为1，符合题意．
②当直线的斜率存在时，设其斜率为k，直线方程为
整理为，则圆心到直线距离为
解得，直线方程为
综上①②，所求直线方程为或．
解析：
20.答案：（1），可得，
由，即，①，可得，由，可得，
可得，即，②
由①②解得（2舍去），
，则；
（2），
可得，
则
可得或7时，取最大值．
则n的值为6或7．
解析：
21.答案：（Ⅰ）因为过的直线与E相交于两点，
由椭圆定义知a=1已知∴的周长为4
（Ⅱ） 由已知成等差数列
∴，又
，解得
（Ⅲ）设，则两点坐标满足方程，
，化简得，，
则，
因为直线的斜率为1，所以，即，
则，
解得；
解析：
22.答案： (1)由是等腰直角三角形，得.
设，则由，得
代入椭圆方程得，
所以椭圆E的方程为.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为.
联立
消去y并整理得
因直线l与E有两个交点，即方程有不等的两实根，
故，解得
设，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以为直径的圆外，
所以，即，
又由
，
解得，综上可得，
则或.
则满足条件的斜率k的取值范围为.
解析：
23.答案：（1）由得．
由，可知．可得 即．
因为，所以，故．
因此是首项为，公比为的等比数列，故．
（2）由1知．
所以①．
两边同乘以得
②．
①②相减得
．
从而．
于是．
当是奇数时，．因为，所以．
当n是偶数时，．
因此．
因为，所以，m的最小值为．
解析：