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- 2021-04-23 发布
第 18 章 《平行四边形》单元测试
.
题号 一 二
三
总分
21 22 23 24 25 26 27 28
分数
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．如图，平行四边形 ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交 BC 边于点 E，
则 EC 等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平行四边形 ABCD 中，CE⊥AB，E 为垂足．如果∠A＝118°，则∠BCE
＝（ ）
A．28° B．38° C．62° D．72°
3．如图，在△ABC 中，AC=6，BC=8，若 AC，BC 边上的中线 BE,AD 垂直相
交于点 O，则 AB=（ ）
A．5 B． 4 2 C． 33 D． 2 5
4．下列选项中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是( )
A．AD / /BC，AB/ /CD B．AB/ /CD ，AB CD
数学试卷 第 3页(共 26页) ( 数学试卷 第 4页(共 26页)
C．AD / /BC， AB DC D．AB DC ，AD BC
5．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点 O 作 EF⊥AC 交 AD
于点 E，交 BC 于点 F，则 DE 的长是（ ）
A．1 B．12
5 C．2 D． 5
3
6．如图，矩形 ABCD 中，AB=4,BC=6,P 是 CD 边上的中点，E 是 BC 边上的一动点，
M,N 分别是 AE、PE 的中点，则随着点 E 的运动，线段 MN 长为（ ）
A． 10 B． 4 5 C． 2 10 D．不确定
7．如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AC=8，BD=6，则菱形的边长 AB
等于（ ）
A．10 B． C．6 D．5
8． 如图，在菱形 OBCD 中，OB=1，相邻两内角之比为 1：2，将菱形 OBCD 绕顶点
O 顺时针旋转 90°，得到菱形 OB′C′D′，则点 C′的坐标为（ ）
A．（ 3
2
， 3
2
） B．（ 3
2
，- 3
2
） C．（ 3
2
，- 3
2
） D．（ 3
2
， 3
2
）
9．如图，在平面内有一等腰 Rt△ABC，∠ACB=90°，点 A 在直线 l 上．过点 C 作
CE⊥1 于点 E，过点 B 作 BF⊥l 于点 F，测量得 CE=3，BF=2，则 AF 的长为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．7
10．如图，等边 ABC 与正方形 DEFG 重叠，其中 D ，E 两点分别在 AB ，BC 上，
且 BD BE ，若 6AB ， 2DE ，则 EFC 的面积为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
11.平行四边形 ABCD 中，∠A=80°，则∠C= ______ °．
12.在▱ ABCD 中，AB：BC=4：3，周长为 28cm，则 AD= ______ cm．
13.如图所示，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，若 AB∥
CD，请添加一个条件______（写一个即可），使四边形 ABCD
是平行四边形．
14.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 CD 上的
一点，且 BC=EC，CF⊥BE 交 AB 于点 F，P 是 EB 延长线上
一点，下列结论：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③
数学试卷 第 7页(共 26页) ( 数学试卷 第 8页(共 26页)
BC=FB；④PF=PC．其中正确的有______．（填序号）
15.如图，在▱ ABCD 中，∠B=30°，AB=AC，O 是两条对角线的交点，过点 O 作 AC
的垂线分别交边 AD，BC 于点 E，F；点 M 是边 AB 的一个三等分点，则△AOE 与△
BMF 的面积比为______．
16. 如图，▱ ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O．点 E 是 CD 的中点，
BD=12，则△DOE 的周长为 ．
17. 如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OB=OD,请你添加一个适当的条件
____________,使 ABCD 成为菱形.（只需添加一个即可）
18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（10，
0），（0，4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动，当△ODP 是腰长为 5 的
等腰三角形时，点 P 的坐标为 ．
19. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，
则 CD= ．
20. 如图，□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC
沿 AC 所在直线翻折 180°到其原来所在的同一平面内，若点 B 的落点记为 B′，
则 DB′的长为 ．
三、解答题（每题 10 分，共 60 分）
21．如图所示 ABCD 中，EF 分别是边 AD，BC 上的点，且AE CF ．
（1）求证： BE DF ；
（2）连结 AF，若 AD DF ， 40ADF ，求 AFB 的度数．
22．已知▱ ABCD 中，E，F 分别是边 AB，CD 的中点．
(1)求证：四边形 EBFD 是平行四边形；
(2)若 AD＝AE＝2，∠A＝60°，求四边形 EBFD 的周长．
23．如图，将▱ ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC，连接 AE，交 BC 于点 F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接 AC、BE，求证：四边形 ABEC 是矩
形．
数学试卷 第 11页(共 26页) ( 数学试卷 第 12页(共 26页)
24.如图，E、F 分别平行四边形 ABCD 对角线 BD 上的点，且 BE＝DF．
求证：∠DAF＝∠BCE．
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形 ABCD 是菱形．
25、如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠DAB=60°，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB
边上的一个动点（不与点 A 重合），延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接 MD，AN．
（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形．
（2）当 AM 的值为何值时，四边形 AMDN 是矩形？请说明
26．如图 1，P 为正方形 ABCD 的边 BC 上一动点（P 与 B、C 不重合），连接 AP，
过点 B 作 BQ⊥AP 交 CD 于点 Q，将△BQC 沿 BQ 所在的直线对折得到△BQC'，
延长 QC′交 BA 的延长线于点 M．
（1）试探究 AP 与 BQ 的数量关系，并证明你的结论；
（2）求证：MQ＝MB；
（3）若 AB＝3，BP＝2PC，求 QM 的长．
参考答案
一、选择题
1、B 2.A 3、D 4、C 5、D
6、A 7、D 8、B 9、B 10、C
二、填空题
11.【答案】80
12.【答案】6
13.【答案】AD∥BC
14.【答案】①②③④
15.【答案】 或 ．
16. 15 解析：∵□ABCD 的周长为 36，
∴2（BC+CD）=36，则 BC+CD=18．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点 E 是 CD 的中点，
∴OE 是△BCD 的中位线，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE 的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE 的周长为 15．
故答案是：15．
数学试卷 第 15页(共 26页) ( 数学试卷 第 16页(共 26页)
17. OA=OC 或 AD＝BC 或 AD∥BC 或 AB＝BC（答案不唯一）
18. （2，4）或（3，4）或（8，4） 解析：由题意，当△ODP 是腰长为 5
的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD=OD=5，点 P 在点 D 的左侧．
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=4．
在 Rt△PDE 中，由勾股定理得：DE= 2 2PD PE = 2 25 4 =3，
∴OE=OD-DE=5-3=2，
∴此时点 P 坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP=OD=5．
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=4．
在 Rt△POE 中，由勾股定理得：OE= 2 2OP PE = 2 25 4 =3，
∴此时点 P 坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD=OD=5，点 P 在点 D 的右侧．
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=4．
在 Rt△PDE 中，由勾股定理得：DE= 2 2PD PE = 2 25 4 =3，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点 P 坐标为（8，4）．
综上所述，点 P 的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
19. 3 2 解析：过点 D 作 DE⊥BC 于 E．
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形 ABED 是矩形，
∴AD=BE=1，
∵BC=4，
∴CE=BC-BE=3，
∵∠C=45°，
∴CD= 2 3 2CE ．
20. 2 解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，BD=2，
∴BE= BD=1．
如图 2，连接 BB′．
根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．
∴∠BEB′=90°，
数学试卷 第 19页(共 26页) ( 数学试卷 第 20页(共 26页)
∴△BB′E 是等腰直角三角形，则 BB′= BE= ．
又∵BE=DE，B′E⊥BD，
∴DB′=BB′= ．
三、解答题（共 60 分）
21．（1）在平行四边形 ABCD 中， AD BC∥ ， AD BC ，
∵ AE CF ，
∴ DE BF∥ ， DE BF
∴四边形 BEDF 是平行四边形
∴ BE DF
（2）∵ AD DF ， 40ADF
∴ 70DAF AFD
∵ AD BC∥
∴ 70AFB FAD
22.（1）在平行四边形 ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD．
∵E、F 是 AB、CD 中点，
∴BE＝ AB，DF＝ CD．
∴BE＝CF．
∵EB∥DF，
∴四边形 EBFD 是平行四边形；
（2）∵AD＝AE，∠A＝60°，
∴△ADE 是等边三角形．
∴DE＝AD＝2，
又∵BE＝AE＝2，
由（1）知四边形 EBFD 是平行四边形，
∴四边形 EBFD 的周长＝2（BE＋DE）＝8．
23.证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠ABF＝∠ECF．
∵EC＝DC，∴AB＝EC．
在△ABF 和△ECF 中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，
∴△ABF≌△ECF．
(2)证法一：由(1)知 AB＝EC，又 AB∥EC，∴四边形 ABEC 是平行四边形．∴AF＝
EF，BF＝CF．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ABC＝∠D，又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠
ABC．
∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB．
∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC．∴□ABEC 是矩形．
证法二：由(1)知 AB＝EC，又 AB∥EC，∴四边形 ABEC 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE．
又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠BCE．
∵∠AFC＝∠FCE＋∠FEC，∴∠FCE＝∠FEC．∴∠D＝∠FEC．
∴AE＝AD．
又∵CE＝DC，∴AC⊥DE，即∠ACE＝90°．
∴□ABEC 是矩形．
24．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠DAF＝∠BCE．
25、
数学试卷 第 23页(共 26页) ( 数学试卷 第 24页(共 26页)
26. （1）解：结论：AP＝BQ．
理由：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90 ，
∴∠ABQ+∠CBQ＝90 ．
∵BQ⊥AP，
∴∠PAB+∠QBA＝90 ，
∴∠PAB＝∠CBQ．
在△PBA 和△QCB 中，
PAB CBQ
AB BC
ABP BCQ
，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP＝BQ．
（2）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB＝∠QBA．
由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，
∴∠QBA＝∠C′QB，
∴MQ＝MB．
（3）解：过点 Q 作 QH⊥AB 于 H，如图．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴QH＝BC＝AB＝3．
∵BP＝2PC，
∴BP＝2，PC＝1，
∴BQ＝AP＝ 2 2AB PB ＝ 2 23 2 ＝ 13 ，
∴BH＝ 2 2BQ QH ＝ 13 9 ＝2．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB＝∠QBA，
由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，
∴∠QBA＝∠C′QB，
∴MQ＝MB．
设 QM＝x，则有 MB＝x，MH＝x﹣2．
在 Rt△MHQ 中，
根据勾股定理可得 x2＝（x﹣2）2+32，
解得 x＝13
4
．
∴QM 的长为13
4
．