【数学】2020届一轮复习人教B版　椭圆的参数方程作业 4页

一、选择题 ‎1．椭圆(φ为参数)的离心率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　B. C. D. 解析：选B　由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝.‎ ‎2．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝(　　)‎ A．π B. C．2π D.π 解析：选A　∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acos θ.‎ ‎∴cos θ＝－1.∴θ＝π.‎ ‎3．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C.＋ D．2 解析：选D　椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，‎ x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2.‎ ‎4．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是(　　)‎ A．(3,4) B. C．(－3，－4) D. 解析：选D　因为＝tan θ＝tan ＝1，所以tan θ＝.所以cos θ＝，sin θ＝，代入得P点坐标为.‎ 二、填空题 ‎5．曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．‎ 解析：原方程消去参数θ，得普通方程为＋＝1.它是焦点在x轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，c＝4.所以左焦点坐标是(－4,0)．‎ 答案：(－4,0)‎ ‎6．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．‎ 解析：当t＝时，即M(1,2)，同理N(，2)．kMN＝＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎7．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．‎ 解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y＝x＋b得：4sin θ＝2cos θ＋b，∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f(θ)＝4sin θ－2cos θ＝2sin(θ－φ).∴－2≤f(θ)≤2.∴－2≤b≤2.‎ 答案：[－2，2 ]‎ ‎8．直线x＋y＝2被椭圆(φ为参数)截得的弦长为________．‎ 解析：把代入x＋y＝2得cos φ＋sin φ＝.即sin＝，于是φ＝0或φ＝，得两交点M(2，0)，N(，)，|MN|＝＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ 解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．‎ ‎(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为 d＝＝ ‎＝cos＋2.‎ 由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.‎ ‎10．椭圆＋＝1上一动点P(x，y)与定点A(a,0)(0＜a＜3)之间的距离的最小值为1，求a的值．‎ 解：设动点P(3cos θ，2sin θ)，则 ‎|PA|2＝(3cos θ－a)2＋4sin 2θ ‎＝5(cos θ－a)2－a2＋4.‎ ‎∵0＜a＜3，∴0＜a＜.‎ 若0＜a≤1，则当cos θ＝a时，‎ ‎|PA|min＝ ＝1，得a＝(舍去)；‎ 若1＜a＜，则当cos θ＝1时，‎ 由|PA|min＝＝1，‎ 得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的a值为2.‎ ‎11．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．‎ 解： 设椭圆的参数方程是其中a>b>0,0≤θ<2π.‎ 由e2＝＝＝1－2，可得＝＝，即a＝2b.‎ 设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，‎ 即d2＝x2＋2＝a2cos2θ＋2‎ ‎＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋ ‎＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋ ‎＝－3b22＋4b2＋3.‎ 如果>1，即b<， 即当sin θ＝－1时，d2有最大值，由题设得()2＝2，‎ 由此得b＝－>，与b<矛盾．‎ 因此必有≤1成立，于是当sin θ＝－时，d2有最大值，‎ 由题设得()2＝4b2＋3，由此可得b＝1，a＝2.‎ 所求椭圆的参数方程是 由sin θ＝－，cos θ＝±可得，‎ 椭圆上的点，点到点P的距离都是.‎