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- 2021-04-23 发布
武威六中 2019-2020 学年度第一学期第二次学段考试
高一数学试卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】 ，则
【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：设圆柱底面积半径为 r，则高为 2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2
这个圆柱全面积与侧面积的比为 ,故选 A
3.函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
{ }1,0,1,2,3U = − { }0,1,2A = { }1,0,1B = − U A B =
{ }1− { }0,1
{ }1,2,3− { }1,0,1,3−
={ 1,3}UC A − ( ) { 1}UC A B = −
1 2
2
π
π
+ 1 4
4
π
π
+ 1 2π
π
+ 1 4
2
π
π
+
1 2
2
π
π
+
2
1
2 3 2
xy x x
−= − −
( ,1]−∞ 1 1, ,12 2
−∞ − ∪ −
( ,2]−∞ 1 1, ,12 2
−∞ − −
根据分式的性质和二次根式性质求解即可
【详解】要使函数有意义，则应满足 ，解得
故选：D
【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题
4.函数 的零点所在区间为（ ）
A. （-1,0） B. （0,1） C. （1,2） D. （2,3）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，求得 ，根据函数的零点的存在定理，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，
可得 ，所以 ，
根据函数的零点的存在定理，可得函数 在区间 内有零点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中熟记函数的零点的存在定理是解答
的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5. 如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A. ④③② B. ②①③ C. ①②③ D.
③②④
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图能判断甲是圆柱，乙是三棱锥，丙是圆锥.
2
1 0
2 3 2 0
x
x x
− ≥
− − ≠
1 1, ,12 2x ∈ −∞ − −
( ) 2 xf x x e= − − +
( ) ( )0 1 0f f⋅ <
( ) 2 xf x x e= − − +
0 10,(0) 0 2 ( ) 2 01 1f e f e= − − + = − − +< > ( ) ( )0 1 0f f⋅ <
( )f x (0,1)
考点：空间几何体的三视图.
6.已知函数 则 的值是( )
A. 0 B. 1 C. D. －
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定函数自变量 取值范围再代入分段函数解析式求解.
详解】∵ .
∴ ，
故选：C.
【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
7.已知 ， ， ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数函数 性质求得 ， ，再由对数函数的性质求得 ，即可得
到答案.
【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得 ， ，
由对数函数的性质，可得 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数
的
【
的
2log , 1,( ) (2 ),0 1,
x xf x f x x
= < <
2
2f
1
2
1
2
2log , 1 2( ) ,0 1(2 ),0 1 2
x xf x f x x
= < < < <
2
2 1( 2) log 22 2f f
= = =
20.3a = 0.32b = 1
2
log 2c = , ,a b c
c b a> > c a b> > b a c> >
a b c> >
(0,1)a∈ (1, )b∈ +∞ 1c = −
20.3 (0,1)a = ∈ 0.32 (1, )b ∈ +∞=
1
2
log 2 1c = = −
b a c> >
的图象与性质，求得 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基
础题.
8.已知奇函数 的定义域为 ，当 时， ，则函
数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
当 时,将函数写为分段函数形式得, ,即可得到 的图
象,再利用函数是奇函数得到另一半的图象即可
【详解】由题,当 时,
在 上单调递减,且当 时,函数的变化越来越平缓，图象为向上凸；
在 上单调递增,且当 时,函数的变化越来越平缓, 图象为向上凸；
, ,a b c
( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ 0x > ( ) ln(| 1| 1)f x x= − +
( )f x
0x > ( )
ln , 1( ) ln 2 ,0 1
x xf x x x
≥= − < < 0x >
0x >
( )
( ) ( )
ln , 1ln[ 1 1], 1( ) ln 2 ,0 1ln[ 1 1],0 1
x xx xf x x xx x
≥− + ≥ = = − < <− + < <
( )f x∴ ( )0,1 0x →
[ )1,+∞ x → +∞
又 是奇函数,关于原点对称,
故选：B
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查分段函数,考查对数函数的图象
9.函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为（ ）
A. （1，+ ） B. （- ， ］ C. （ ，+ ） D. （- ，
］
【答案】A
【解析】
，所以当 时，
当 时， ，即递减区间为（1，+ ），选 A.
点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)
图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：
二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利
用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调
性.
10.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c ）为( )
A. 48+12 B. 48+24 C. 36+12 D. 36+24
( )f x
1
2
∞ ∞ 3
4
1
2
∞ ∞
1
2
2
1
2
log , 2 3 1 0y u u x x= = − + > 1
2x < ( ) , ( ) ( )u x y u y x⇒
1x > ( ) , ( ) ( )u x y u y x ⇒ ∞
2m
2 2 2
2
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：
由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其底面是腰长为 6 的等腰直角三角形，顶
点在底面的投影是斜边的中点，由底面是腰长为 6 的等腰直角三角形知其底面积是
×6×6=18，又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是 3，棱锥高为 4，， 所以三个侧
面中与底面垂直的侧面三角形高是 4，底面边长为 6 ，其余两个侧面的斜高 5，故三个
侧面中与底面垂直的三角形的面积为， ×4×6 =12 另两个侧面三角形的面积都是
×6×5=15，故此几何体的全面积是 18+2×15+12=48+12 故选 A
点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查
三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求
表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主
视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，
应予以重视
【此处有视频，请去附件查看】
11.已知函数 （ 且 ）在 上单调递减，则 的
取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
1
2
2
1
2 2 2
1
2 2
( ) ( )
( )
2 4 3 3 , 0{ log 1 1, 0a
x a x a xf x x x
+ − + <= + + ≥ 0a > 1a ≠ R a
3 ,14
30, 4
1 3,3 4
10, 3
试题分析：由于函数在 上单调递增，所以 ，解得 .
考点：函数的单调性.
12. 若直角坐标平面内的亮点 P，Q 满足条件： P，Q 都在函数 y=f(x)的图像上， P，Q 关于
原点对称，则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好
点对”)。
已知函数 ，则此函数的“友好点对”有( )
A. 0 对 B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对
【答案】C
【解析】
因为根据新定义可知，作图可知函数 ，则此函数的“友好点对”有 2
对，选 C
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知幂函数 的图象过点 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】
先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数 的解析式，再求 的值.
【详解】设 ，由于图象过点 ,
得 ，
，
，故答案为 3.
【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握
与应用，属于基础题.
R
4 3 02
{ 1
3 1
a
a
a
−− ≥
>
≥
1 3,3 4a ∈
2
2
log , 0( ) { 4 , 0
x xf x x x x
>= − − ≤
2
2
log ( 0)( ) { 4 ( 0)
x xf x x x x
>= − − ≤
( )y f x= ( )2, 2 ( )9f =
( )y f x= ( )9f
( ) ay f x x= = ( )2, 2
12 2 , 2
a a= =
( ) 1
2y f x x∴ = =
( ) 1
29 9 3f∴ = =
14.函数 的图像必经过定点__________．
【答案】
【解析】
【分析】
令 代入函数解析式即可求解
【详解】令 ，解得 ，代入 得 ，
则函数 的图像必经过定点
故答案为：
【点睛】本题考查对数型函数过定点的求法，熟记 恒过定点 ，
再采用整体代换法求解对应对数型函数即可，如本题中令 ，属于基础题
15.方程 的解的个数为____________个．
【答案】
【解析】
【分析】
可采用数形结合法，先去绝对值，再画出函数图像，观察交点个数即可
【详解】 ，
令 ，画出函数图像，如图：
( )y log (2 1) 3 0, 1a x a a= − + > ≠
( )1,3
2 1 1x − =
2 1 1x − = 1x = y log (2 1) 3a x= − + 3y =
( )y log (2 1) 3 0, 1a x a a= − + > ≠ ( )1,3
( )1,3
( ) ( )0, 1logag a ax x >= ≠ ( )1,0
2 1 1x − =
2
3log 2x x= −
2
( )
)
2
2
3 2
2 , 0, 2
log 2
2, 2,
x x
x x
x x
− ∈= − = − ∈ +∞
( ) ( ) 2
3log , 2f x x g x x= = −
观察可知， 与 有两个交点，故方程 的解的个数为 2 个
故答案为：2
【点睛】本题考查方程零点个数的求解，数形结合思想与构造函数法的应用，属于中档题
16.若函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
____________．
【答案】
【解析】
【分析】
明确函数的奇偶性与单调性，化抽象不等式为具体不等式，解之即可.
【详解】函数 为奇函数，且在在 上单调递增，
则 可化为：
即
∴ ，
∴ 或
∴实数 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是把抽象不等式转化为具体不等
式，属于基础题．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
17.计算：（1） ；
（2） .
【答案】(1) ；(2)4
【解析】
【分析】
( )f x ( )g x 2
3log 2x x= −
( ) 3f x x x= + ( ) ( )22 0f a f a− + ≥ a
( ] [ ), 2 1,−∞ − +∞
( ) 3f x x x= + ( ),−∞ +∞
( ) ( )22 0f a f a− + ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2f a f a f a≥ − − = −
2 2a a≥ −
2 2 0a a+ − ≥
2,a ≤ − 1a ≥
a ( ] [ ), 2 1,−∞ − +∞
( ] [ ), 2 1,−∞ − +∞
11 3
0 32 27 10(2 ) (2 3 ) (2 ) 0.259 27
π − −− − − +
2 2log 4 log 1
32 3 lg3 log 2 lg5+ − ⋅ −
95
12
（1）由实数指数幂的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案；
（2）根据对数的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案.
【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：
原式 .
（2）根据对数 运算性质，可得：
原式 .
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简求值问题，其
中解答中熟记指数幂和度数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能
力，属于基础题.
18.设全集 ，集合 ， ．
（1）求 ；
（2）若函数 的定义域为集合 ，满足 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
分析】
（1）先化简集合 ，再根据集合的交并补运算求解即可；
（2）函数 定义域对应集合可化简为 ，又 ，故由
包含关系建立不等式即可求解；
【详解】（1）由题知， ，
（2）函数 的定义域为集合 ，
， ，
的
【
1 11 3 1 3
2 3 23 32 2 2 225 64 1 5 4( ) 1 ( ) ( ) ( ) ] 1 [ 5 3 95( ) ] [(2) ]9 27 4 3 3[ 1 83 4 12
− −− −−= − − + − = − − + =− +=
0 lg 24 3 lg3 lg5 4 1 (lg 2 lg5) 4lg3
= + − ⋅ − = + − + =
U = R { }1 3A x x= − ≤ < { }2 4 2B x x x= − ≤ −
( )UA C B∩
( ) lg(2 )f x x a= + C A C⊆ a
{ }2 3x x< < ( )2,+∞
B
( ) lg(2 )f x x a= +
2
aC x x = > − A C⊆
{ }2B x x= ≤ { }2UC B x x∴ = >
{ }1 3A x x= − ≤ <
( ) { }2 3UA C B x x∴ ∩ = < <
( ) lg(2 )f x x a= +
2
aC x x = > −
A C⊆ 12
a∴− < −
.
故实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由集合的包含关系求参数范围，属于基础题
19.如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆
，问需要油漆多少千克？(尺寸如图所示，单位： ， 取 ，结果精确到
)
【答案】需要油漆约 .
【解析】
【分析】
先由三视图确定建筑物为圆锥和长方体组合而成，需涂漆部分为圆锥的侧面，长方体的侧面，
圆锥的底面除去一个边长为 的正方形的剩余部分，结合线段关系和面积公式求解即可
【详解】油漆粉刷部位有三部分组成，一是圆锥的侧面(面积记为 )，二是长方体的侧面(面
积记为 )，三是圆锥的底面除去一个边长为 的正方形(面积记为 )，
则 ，
，
2a∴ >
a ( )2,+∞
0.2kg m π 3.14
0.01 kg
22.88kg
3
1S
2S 3 3S
( )2
1 3 5 15 mS π π= × × =
( )2
2 4 3 4 48 mS = × × =
( )2 2
3 3 3 3 9 9 mS π π= × − × = −
记油漆粉刷面积为 ，则
记油漆重量为 ,则
答：需要油漆约
【点睛】本题考查由三视图还原立体图形，实际问题中的表面积求法，属于中档题
20.某公司生产甲、乙两种产品所得利润分别为 和 （万元），它们与投入资金（万
元）的关系有经验公式 ， ．今将 120 万元资金投入
生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额都不低于 20 万元．
（Ⅰ）设对乙产品投入资金 万元，求总利润 （万元）关于 的函数关系式及其定义
域；
（Ⅱ）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）当对甲产品投入资金 84 万
元，对乙产品投入资金 万元时，所得总利润最大，最大利润为 71 万元.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题得 ，再求函数的定义域；（Ⅱ）
令 ， 则 ， 则 原 函 数 化 为 关 于 的 函 数 ：
再利用二次函数求最大利润.
【详解】(Ⅰ)对乙产品投入资金 万元，则对甲产品投入资 万元；
所以，
，
由 ，解得 ，所以其定义域为 .
S ( )2
1 2 3 24 39 mS S S S π= + + = +
ykg (24 39) 0.2 22.872y π= + × = 22.88kg≈
22.88kg
1( )f x 2 ( )f x
1
1( ) 106
= +f x x 2 ( ) 2 35= +f x x
x ( )W x x
[ ]1( ) 2 65, 20,1006W x x x x= − + + ∈
( ) ( ) ( )1 2
1120 2 656W x f x f x x x= − + =− + +
t x= 2 5,10 ∈ t t
21 2 65, 2 5,106
= − + + ∈ y t t t
x ( )120 x−
( ) ( ) ( ) ( )1 2
1120 120 10 2 356W x f x f x x x= − + = − + + +
( ) 1 2 656W x x x= − + +即
20 120 120
20 120
x
x
≤ − ≤
≤ ≤ 20 100x≤ ≤ [ ]20,100
(Ⅱ)令 ，则 ，则原函数化为关于的函数 ：
,
所以当 ，即 时， （万元），
答：当对甲产品投入资金 84 万元，对乙产品投入资金 万元时，所得总利润最大，最大利
润为 71 万元.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求法和定义域的求法，考查函数最值的计算和函数的应
用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21.已知函数 的最小值记为 .
（1）求 解析式；
（2）求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）根据函数 的图象的对称轴 在所给区间 的左侧、中间、右
侧三种情况，分别求得 ，综合可得结论；（2）根据函数 的解析式，画出函数
的图象，数形结合求得函数 取得最大值.
试题解析：（1） ，函数图象对称轴为 ，当 时，
的最小值在 处取得 ；当 时， 的最小值在 处
取得 ，当 时， 的最小值在 处取得
综上， 。
t x= 2 5,10 ∈ t t
21 2 65, 2 5,106
= − + + ∈ y t t t ( )221 12 65 6 716 6y t t t∴ = − + + = − − +
6t = 36x = max 71y =
[ ]2( ) 2 1 -1,1f x x ax= − + 在闭区间 ( )g a
( )g a
( )g a
2
2-2 , 1
( ) 1- , 1 1
2+2 1
a a
g a a a
a a
>
= − ≤ ≤
< − ，
( )f x x a= [ ]-1,1
( )g a ( )g a ( )g a
( )g a
( ) ( )2 21f x x a a= − + − x a= 1a > ( )f x
1x = ( ) ( )= 1 =2-2g a f a 1 1a− ≤ ≤ ( )f x x a=
( ) ( ) 2= =1-g a f a a 1a < − ( )f x 1x = −
( ) ( )= 1 =2+2g a f a−
( ) 2
2-2 , 1
1- , 1 1
2+2 1
a a
g a a a
a a
>
= − ≤ ≤
< − ，
（2）根据 ，作出函数图像，如图
当 时， 的最大值为 1.
点睛：本题主要考查了二次函数的单调性及解关于分段函数对应的方程，较基础；对于含有
参数的一元二次函数，常见的讨论形式有：1、对二项式系数进行讨论，分为等于 0，大于
0，小于 0；2、对函数的对称轴和所给区间进行讨论；或者利用数形结合思想；解出分段函
数形式的方程，主要注意定义域.
22.已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求 ， 的值；
（2）用定义法证明函数 在定义域的单调性；
（3）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ， （2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数性质由 ，可求得 ，再结合 ，令 可求得 ；
（2）结合定义法证明即可；
（3）由（2）得函数 为减函数，则 可转化为
，即 ，变形成关于 的一元二次不
等式恒成立问题求解即可
【详解】 ，即 ，解得
( ) 2
2-2 , 1
1- , 1 1
2+2 1
a a
g a a a
a a
>
= − ≤ ≤
< − ，
0a = ( )g a
R 1
2( ) 2
x
x
bf x a+
− += +
a b
( )f x
( ) ( )2 22 2 0f t t f t k− + − < k
2a = 1b = 1, 3
−∞ −
( )0 0f = b ( ) ( )f x f x− = − 1x = a
( )f x ( ) ( )2 22 2 0f t t f t k− + − <
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2f t t f t k f k t− < − − = − 2 22 2t t t k− > − + t
( )0 0f∴ = 1 02
b
a
− + =+ 1b =
又
即 ，解得
（2）由（1）知，
设 ， 是 上任意两个实数，且 ，则
， ，
又 ，
即
在 上是减函数
（3）由（2）， 为 上的减函数和奇函数
故不等式 可化为
，即原问题转化为对任意的 有 恒成立，
实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查由函数的奇偶性求解具体的解析式，函数单调性的证明，由奇偶性和增减
性解不等式，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题
1
2 1( ) 2
x
xf x a+
− +∴ = +
(1) ( 1)= − −f f
2
1 12 1 2
2 1
− +− + = −+ +a a
2a =
1
2 1 1 1( ) 2 2 2 2 1
x
x xf x +
− += = − ++ +
1x 2x R 1 2x x<
( ) ( )
1 21 2
1 1 1 1
2 2 1 2 2 1x xf x f x− = − + + −+ + ( )( )
2 1
1 2
2 2
2 1 2 1
x x
x x
−=
+ +
1 2x x< 1 22 2x x∴ < 2 12 2 0x x∴ − >
( )( )1 22 1 2 1 0x x+ + > ( ) ( )1 2 0f x f x− >
( ) ( )1 2f x f x>
1
2 1( ) 2 2
x
xf x +
− +∴ = + R
( )f x R
( ) ( )2 22 2 0f t t f t k− + − < ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2f t t f t k f k t− < − − = −
2 22 2t t t k∴ − > − + t R∈ 23 2 0t t k− − >
12 4 0k∴∆ = + <
1
3k∴ < −
∴ k 1, 3
−∞ −