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- 2021-04-23 发布
海口市一中2020届高三年级9月月考数学（B）卷试题
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设集合A ={x|y=lg（x-3）}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B等于（ ）
A. B. R C. D.
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第四象限 C. 第三象限 D. 第二象限
3. 函数f（x）=的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知a=，b=log2，c=，则（ ）
A. B. C. D.
5. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A. 3 B. C. D.
6. （1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A. 15 B. 30 C. 20 D. 35
海口市一中2020届高三年级9月月考数学（B）卷试题
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设集合A ={x|y=lg（x-3）}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B等于（ ）
A. B. R C. D.
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第四象限 C. 第三象限 D. 第二象限
3. 函数f（x）=的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知a=，b=log2，c=，则（ ）
A. B. C. D.
5. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A. 3 B. C. D.
6. （1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A. 15 B. 30 C. 20 D. 35
1. 若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是
A. 9 B. 4 C. D.
2. f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R总有f（x +）=- f（x），则f（-）的值为（ ）
A. B. 3 C. D. 0
3. 如图，已知△OAB，若点C满足，则=（ ）
A. B. C. D.
4. 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x-1）f（x2-1）＜f（x+1）的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
7. 在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为______．
1. 设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则__________
2. 已知函数的零点的区间是，则的值为__________.
3. 已知是公差不为零的等差数列，同时，，成等比数列，且，则______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
4. 设数列的前n项和为，，满足，，．
求证：数列为等比数列；
求数列的前n项和．
5. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asinC－ccosA
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值．
2.
某高中社团进行社会实践，对岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
完成以下问题：
Ⅰ补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
Ⅱ从岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在岁的人数为X，求X的分布列和期望．
1. 已知函数f（x）=x•lnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax-1，求实数a的取值范围．
2. 如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
答案和解析
选择题 ABCDA BADCA BC
填空题 13. 14. 15. 4 16. 28
解答题
17.（1）证明∵
∴n()=2, ∴, ∴,,
∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列;
(2)解：由（1）可知， ∴,
∴,
∴,
由错位相减得
=,
∴.
18.解：（1）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC-ccosA.
由正弦定理得，
sinC=sinAsinC-sinCcosA，因为sinC≠0，
所以．即：，
由于：0＜A＜π，解得：A=．
（2）因为△ABC的面积为，所以，
所以bc=4①，
在△ABC中，应用余弦定理知，
a2=b2+c2-2bccosA，所以b2+c2=8②；
联立①②两式可得，b=c=2．
19.（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD=．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则：D（），B（），P（0，0，），C（）．
，，．
设平面PBC的一个法向量为，
由，得，取y=1，得．
∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．
∴cos＜＞==．由图可知，二面角A-PB-C为钝角，
∴二面角A-PB-C的余弦值为．
20.解：（Ⅰ）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高为．
频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，
所以．
第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60．
（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值
为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．
随机变量X服从超几何分布．，，，．
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴数学期望
21.解：（Ⅰ）因为函数f（x）=xlnx，
所以，f'（1）=ln1+1=1．
又因为f（1）=0
，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1；
（Ⅱ）函数f（x）=xlnx定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可知，f'（x）=lnx+1．
令f′（x）=0，解得．
f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：
x
f′（x）
—
0
+
f（x）
减
极小值
增
所以f（x）的单调递增区间是，f（x）的单调递减区间是；
（Ⅲ）当时，“f（x）≤ax-1”等价于“”．
令，，
，．
当时，g'（x）＜0，所以以g（x）在区间单调递减．
当x∈（1，e）时，g'（x）＞0，所以g（x）在区间（1，e）单调递增．
而，
．
所以g（x）在区间上的最大值为．
所以当a≥e-1时，对于任意，都有f（x）≤ax-1．
22.
（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，且 ，
解得 a2=4．
所以，椭圆C的方程是．
（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，
消去y，整理得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 ，．①
因为 BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，
所以 ，整理得 x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0．②
因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m，
所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③
将③代入②，整理得．④
将①代入④，整理得 5m2-2m-3=0．
解得 ，或m=1（舍去）．
所以，直线PQ恒过定点．
证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．
将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得 （1+4k2）x2+8kx=0．
解得 x=0，或．
设 P（x1，y1），所以，，
所以 ．
以替换点P坐标中的k，可得 ．
从而，直线PQ的方程是 ．
依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．
在上述方程中，令x=0，解得．
所以，直线PQ恒过定点．