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- 2021-04-22 发布
随堂巩固训练(12)
1. 已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为__c>，即a>b>1.又00且a≠1)有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为____．
解析：方程|ax－1|＝2a有两个不相等的实数根可转化为函数y＝|ax－1|与函数y＝2a的图象有两个不同的交点，作出函数y＝|ax－1|的图象，当a>1时，如图1；当00且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围为____．
解析：根据单调性定义，函数f(x)为减函数应满足即≤a<1.
7. 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝__－1__．
解析：设g(x)＝ex＋ae－x，则f(x)＝xg(x)是偶函数．所以g(x)＝ex＋ae－x(x∈R)是奇函数，所以g(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，即a＝－1.
8. 若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a的值为____．
解析：易知函数f(x)是单调函数，所以当a>1时，f(2)＝2，所以a2－1＝2，解得a＝，经验证符合题意；当00，所以2x－1>－1且2x－1≠0，所以∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以y＝1＋∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，故所求的值域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
10. 设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数．
(1) 求a的值；
(2) 判断并证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性；
(3) 求函数f(x)的值域．
解析：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是＋＝＋3a，
即＝.因为a＞0，故a＝1.
(2) 由(1)可知f(x)＝3x＋.设x2＞x1≥0，则f(x1)－f(x2)＝3x1＋－3x2－＝(3x2－3x1).
因为y＝3x为增函数，且x2＞x1，故3x2－3x1＞0.
因为x2＞0，x1≥0，故x2＋x1＞0，于是＜1，即－1＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)在区间[0，＋∞)上为单调增函数．
(3) 因为f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，所以f(0)＝2为函数的最小值，故函数的值域为[2，＋∞)．
11. 已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0，1]．
(1) 求实数a的值；
(2) 若函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，求实数λ的取值范围．
解析：(1) 由已知得3a＋2＝18，解得a＝log32.
故实数a的值为log32.
(2) 方法一：由(1)知g(x)＝λ·2x－4x，设0≤x10恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．
由于2x2＋2x1>20＋20＝2，
所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．
方法二：由(1)知g(x)＝λ·2x－4x.
因为g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，
所以g′(x)＝λln 2·2x－ln 4·4x＝2xln 2(－2·2x＋λ)≤0在区间[0，1]上恒成立，
所以λ≤2·2x在区间[0，1]上恒成立，
所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．
12. 已知函数y＝1＋2x＋4x·a在x∈(－∞，1]上恒大于零，求实数a的取值范围．
解析：由题意得1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a>－在x∈(－∞，1]上恒成立．
令f(x)＝－＝－－，
设t＝，t≥，则f(t)＝－t2－t＝－＋，
所以当t＝，即x＝1时，函数f(t)取到最大值－，
所以a>－，
即实数a的取值范围为.
13. 已知函数f(x)＝.
(1) 若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2) 若函数f(x)有最大值3，求实数a的值；
(3) 若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，求实数a的值．
解析：(1) 当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
因为函数g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，
又y＝在R上单调递减，
所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)，单调减区间是(－∞，－2)．
(2) 令h(x)＝ax2－4x＋3，则y＝，
因为函数f(x)有最大值3，
所以函数h(x)有最小值－1，
所以＝－1，且a>0，解得a＝1，
即当函数f(x)有最大值3时，实数a的值为1.
(3) 由指数函数的性质可知，若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，则h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R.
若a≠0，则h(x)＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R，
所以a＝0.
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