（文理通用）2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题8 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程练习 4页

第一部分 专题八 第一讲 坐标系与参数方程 A组 ‎1．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy中相同)的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝2acosθ(a>0)，l与C相切于点P.‎ ‎(1)求C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求切点P的极坐标．‎ ‎[解析]　(1)l表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线，曲线C表示以C′(a,0)为圆心，a为半径的圆．‎ ‎∵l与C相切，∴a＝(3－a)，⇒a＝1.‎ 于是曲线C的方程为ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，‎ 于是x2＋y2＝2x，‎ 故所求C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ ‎(2)∵∠POC′＝∠OPC′＝30°，∴OP＝.‎ ‎∴切点P的极坐标为(，)．‎ ‎2．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．‎ ‎[解析]　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为(φ为参数)．‎ ‎(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m：(t为参数)平行的直线l的普通方程．‎ ‎(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值．‎ ‎[分析]　(1)由直线l与直线m平行可得l的斜率，将椭圆C的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l方程．‎ ‎(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解．‎ ‎[解析]　(1)由C的参数方程可知，a＝5，b＝3，∴c＝4，∴右焦点F2(4,0)，将直线m 4‎ 的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0，所以k＝，于是所求直线方程为x－2y－4＝0.‎ ‎(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤)，则S＝4|xy|＝60sinφcosφ＝30sin2φ，∴当2φ＝时，Smax＝30，‎ 即矩形面积的最大值为30.‎ ‎4．(2018·邯郸一模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2sinθ，ρcos(θ－)＝.‎ ‎(1)求C1和C2交点的极坐标；‎ ‎(2)直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.‎ ‎[解析]　(1)C1，C2极坐标方程分别为ρ＝2sinθ，ρcos(θ－)＝，‎ 化为直角坐标方程分别为x2＋(y－1)2＝1，x＋y－2＝0.‎ 得交点坐标为(0,2)，(1,1)．‎ 即C1和C2交点的极坐标分别为(2，)，(，)．‎ ‎(2)把直线l的参数方程：(t为参数)，代入x2＋(y－1)2＝1，‎ 得(－＋t)2＋(t－1)2＝1，‎ 即t2－4t＋3＝0，t1＋t2＝4，t1t2＝3，‎ 所以|PA|＋|PB|＝4.‎ B组 ‎1．(2017·全国卷Ⅲ，22)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎[解析]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；‎ 消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)，‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ 4‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，‎ 联立 得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．‎ 故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎2．在平面直角坐示系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)．‎ ‎(1)若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；‎ ‎(2)当a＝3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．‎ ‎[解析]　(1)曲线C1：的普通方程为y＝3－2x.‎ 曲线C1与x轴的交点为(，0)．‎ 曲线C2：的普通方程为＋＝1.‎ 曲线C2与x轴的交点为(－a,0)，(a,0)．‎ 由a>0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，知a＝.‎ ‎(2)当a＝3时，曲线C2：为圆x2＋y2＝9.‎ 圆心到直线y＝3－2x的距离d＝＝.‎ 所以A，B两点的距离|AB|＝2＝‎ ‎2＝.‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ‎(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.‎ ‎(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎[解析]　(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.‎ ‎(Ⅱ)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 4‎ 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎4．(2018·邵阳三模)在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线．‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为(1,0)，试求当α＝时，|PA|＋|PB|的值．‎ ‎[解析]　(1)曲线C：ρ＝2cos(θ＋)，‎ 可以化为ρ2＝2ρcos(θ＋)，ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ，‎ 因此，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0.‎ 它表示以(1，－1)为圆心，为半径的圆．‎ ‎(2)当α＝时，直线的参数方程为(t为参数)‎ 点P(1,0)在直线上，且在圆C内，把代入x2＋y2－2x＋2y＝0中得t2＋t－1＝0.‎ 设两个实数根为t1，t2，则A，B两点所对应的参数为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－，t1t2＝－1.‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1－t2|‎ ‎＝＝.‎ 4‎