- 1.29 MB
- 2021-04-22 发布
2016—2017学年（上）期末考试
高2018级理科数学试题
考试说明：1.考试时间：120分钟
2.试题总分：150分
3.试卷页数：共4页
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的,把答案填涂在答题卡相应位置上）
1、、均为实数，则是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、直线的倾斜角为 ( )
A． B． C． D．
3、已知抛物线过点，则它的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
4、下列判断错误的是 （ ）
A．“若，则方程有两个不同的实数根”是真命题.
B．命题“若，则”的逆否命题为：“若, 则”.
C．若命题：，， 则：，.
D．若为假命题，则，均为假命题.
5、已知、为不同的直线，、为不同的平面，且，，则下列命题中假命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，相交，则，相交 D. 若，相交，则，相交
6、已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点．若的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
7、已知实数、满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8、《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高丈尺寸，容纳米斛（丈=尺，尺=寸，斛为容积单位，斛≈立方尺，≈），则圆柱底面圆的周长约为（ ）
A．丈尺 B．丈尺 C．丈尺 D．丈尺
9、已知椭圆的焦距为，以原点为圆心，
为半径作圆，过点作该圆的两条切线，若这两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中
最大的侧面的面积为（ ）
A. B.
C. D.
11、已知椭圆的方程为，是其右顶点，是该椭圆在第一象限部分上的一点，且,若点是椭圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过且倾斜角为锐角的直线与抛物线交于、两点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共小题，每小题分，共分，把答案填写在答题卡相应位置上）
13、已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .
14、若圆：与圆：外切，则 .
15、三棱锥中，平面，，,，则三棱锥的外接球的表面积为 .
16、过曲线：的左焦点作曲线：的切线，设切点为，延长交曲线：于点，其中、有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为 .
三．解答题（本大题共分）
17、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.
(1) 求直线的方程； (2)求圆的方程．
18、 (本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
如图，平面，四边形为矩形，，
，点是的中点，点在边上移动．
（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：．
19、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
如图，在直三棱柱中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，，
求平面与平面所成二面角的正弦值.
20、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
已知抛物线：的焦点为，直线交抛物线于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点．
（1）若直线过焦点，求抛物线的方程；
（2）若，求的值．
21、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
如图，在四棱锥中，，，平面，点在上，．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，
求二面角的平面角的余弦值．
22、(本小题10分，（1）小问3分，（2）小问7分)
已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线被圆：截得的弦长为，且与椭圆交于、两点，求面积的最大值．
2016—2017学年（上）期末考试
高2018级理科数学试题参考答案
一．选择题：BDADD；ACBAC；BC
12、解：易知，作轴于点，
作垂直准线于点，有，
由，可得，
所以。
二．填空题：13、3； 14、 ； 15、； 16、
16、解：设双曲线的右焦点，作抛物线的准线于点，
则易得：，，
由～,得以,∴，
∴，∴，∴。
三．解答题（本大题共分）
17、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
解：(1)∵直线的斜率，的中点坐标为．．．．．．．．．．．．4分
∴直线的方程为 .．．．．．．．．．．．6分
(2)设圆心，则由点在上，得.①
又∵直径，∴，∴.②．．．．．．．．．8分
由①②解得或，∴圆心或．．．．．．．．．．．．10分
∴圆的方程为或.．．．．．．．．．．．12分
18、 (本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
解：（1）∵平面，四边形为矩形，
∴，∴．．．．．．．．．6分
（2）法（1）∵平面，∴，又∵且点是的中点，∴，又，，，
∴平面，．．．．．．．．．．．9分
又平面，∴，由，，，
∴平面，平面，∴．．．．．．．．．．．．12分
法（2）如图建立空间直角坐标系，
则，，，，．．．．．．．．．．．8分
∴， ∵点在边上，设，
则 ，，．．．．．．．．．．．10分
∴，∴．．．．．．．．．．．．12分
19、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
解.（1）证明：如图，连接，交于点，则点是和的中点，连接，则，．．．．．．．．．．．4分
∵平面，平面，∴平面．．．．．．．．．．．6分
（2）解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，
设平面的法向量为，则，
得，取，得，，得，．．．．．．．．．．．9分
易得平面的一个法向量为，故．．．．11分
故平面与平面所成二面角的正弦值为．．．．．．．．．．12分
20、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
解：（1）∵直线与轴的交点为，．．．．．2分
∴，∴抛物线的方程为．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由 得：，
设，，则,，．．．．．．．．．．．8分
∴，∵，则，，．．．．．．．．．．．10分
，
，
代入得，解得或（舍去）
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)
解：（1）法一取中点，连接，则且，
∴四边形是平行四边形，∴
∵直角△和直角△中，
∴直角△～直角△，易知，
∴ ．．．．．．．．．．．2分
∵平面，平面，∴，．．．．．．．．．．．4分
∵，∴平面 ，∴平面平面.．．．．．．．．．．．6分
法二：∵平面
又∵，故可如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，
．．．．．2分
∴，，
∴，，∴，，∵
∴平面.．．．．．．．．．．．4分
∴平面平面．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1），平面的一个法向量是，
设直线与平面所成的角为，
∴，∴，即．．．．．．8分
设平面的一个法向量为，，
由，，∴，令，则．．．．．．10分
∴ ，显然二面角的平面角是锐角，
∴二面角的平面角的余弦值为．．．．．．12分
22、(本小题10分，（1）小问3分，（2）小问7分)
解：（1）设，由已知得，，得，又，得，∴，
故椭圆的方程为．．．．．．．3分
（2）记点到直线的距离为，则，
①当直线与轴平行时，直线的方程为，易求，
∴．．．．．．．4分
②当直线与轴不平行时，设直线的方程为，，，
由已知得，∴，．．．．．．5分
由得，又，
∴，，．．．．．．6分
∴，．．．．．．7分
，当且仅当时取等号，．．．．．．9分
综上当时，面积的最大值为．．．．．．．10分
另解：……同上，
，
令，则，
当，即时，面积的最大值为，……同上．