2019届二轮复习数学归纳法课件（37张）（全国通用） 37页

- 1 - 知识梳理 考点自诊 1 . 数学归纳法的定义 一般地 , 证明一个与正整数 n 有关的命题 , 可按下列步骤进行 : (1)( 归纳奠基 ) 证明当 n 取第一个值 n 0 ( n 0 ∈ N + ) 时命题成立 ; (2)( 归纳递推 ) 假设 n=k ( k ≥ n 0 , k ∈ N + ) 时命题成立 , 证明当 n= 　　　　　 时命题也成立 .  只要完成这两个步骤 , 就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立 . 上述证明方法叫做数学归纳法 . 2 . 数学归纳法的框图表示 - 2 - 知识梳理 考点自诊 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ” , 错误的画 “ × ” . (1) 用数学归纳法证明问题时 , 第一步是验证当 n= 1 时结论成立 . ( 　　 ) (2) 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 . ( 　　 ) (3) 用数学归纳法证明问题时 , 必须用上归纳假设 . ( 　　 ) (4) 不论是等式还是不等式 , 用数学归纳法证明时 , 由 n=k 到 n=k+ 1 时 , 项数都增加了一项 . ( 　　 ) (5) 用数学归纳法证明等式 “ 1 + 2 + 2 2 + … + 2 n+ 2 = 2 n+ 3 - 1”, 验证 n= 1 时 , 左边式子应为 1 + 2 + 2 2 + 2 3 . ( 　　 ) (6) 用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时 , n 0 = 3 . ( 　　 ) × × × × √ √ - 3 - 知识梳理 考点自诊 2 . 用数学归纳法证明等式 1 + 2 + 3 + … + ( n+ 3 ) = ( n ∈ N + ), 验证 n= 1 时 , 左边应取的项是 ( 　　 ) A.1 B.1 + 2 C.1 + 2 + 3 D.1 + 2 + 3 + 4 D 解析 : 在等式 1 + 2 + 3 + … + ( n+ 3 ) = ( n ∈ N + ) 中 , 当 n= 1 时 , n+ 3 = 4, 而等式左边是起始为 1 的连续的正整数的和 , 故 n= 1 时 , 等式左边的项为 :1 + 2 + 3 + 4, 故选 D . - 4 - 知识梳理 考点自诊 3 . (2018 河北武邑中学二调 ,7) 用数学归纳法 证明 时 , 由 n=k ( k> 1) 时不等式成立 , 推证 n=k+ 1 时 , 左边应增加的项数是 ( 　　 ) A.2 k- 1 B.2 k - 1 C.2 k D.2 k + 1 C - 5 - 知识梳理 考点自诊 4 . 用数学归纳法 证明 , 假设 n=k 时 , 不等式成立 , 则当 n=k+ 1 时 , 应推证的目标不等式是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .  - 6 - 考点 1 考点 2 考点 3 用数学归纳法证明等式 求证 : f (1) +f (2) + … +f ( n- 1) =n [ f ( n ) - 1]( n ≥ 2, n ∈ N + ) . - 7 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 8 - 考点 1 考点 2 考点 3 思考 用数学归纳法证明等式的注意点有哪些 ? 解题心得 用数学归纳法证明等式的注意点 : (1) 用数学归纳法证明等式问题 , 要 “ 先看项 ”, 弄清等式两边的构成规律 , 等式两边各有多少项 , 初始值 n 0 是多少 . (2) 由 n=k 时等式成立 , 推出 n=k+ 1 时等式成立 , 一要找出等式两边的变化 ( 差异 ), 明确变形目标 ; 二要充分利用归纳假设 , 进行合理变形 , 正确写出证明过程 . (3) 不利用归纳假设的证明 , 就不是数学归纳法 . - 9 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 10 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 11 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 12 - 考点 1 考点 2 考点 3 利用数学归纳法证明不等式 例 2 (2018 广西岑溪期末 ,21) 设实数 c> 0, 整数 p> 1, n ∈ N + . (1) 证明 : 当 x>- 1 且 x ≠0 时 ,(1 +x ) p > 1 +px ; 证明 (1) ① 当 p= 2 时 ,(1 +x ) 2 = 1 + 2 x+x 2 > 1 + 2 x , 原不等式成立 . ② 假设当 p=k ( k ≥ 2, k ∈ N + ) 时 , 不等式 (1 +x ) k > 1 +kx 成立 . 则当 p=k+ 1 时 ,(1 +x ) k+ 1 = (1 +x )(1 +x ) k > (1 +x )(1 +kx ) = 1 + ( k+ 1) x+kx 2 > 1 + ( k+ 1) x. 所以当 p=k+ 1 时 , 原不等式也成立 . 综合 ①② 可得 , 当 x>- 1, 且 x ≠0 时 , 对一切整数 p> 1, 不等式 (1 +x ) p > 1 +px 均成立 . - 13 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 14 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 15 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 16 - 考点 1 考点 2 考点 3 思考 具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明 ? 证明的关键是什么 ? 解题心得 1 . 当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时 , 若用其他办法不容易证 , 则可考虑应用数学归纳法 . 2 . 证明的关键是 : 由 n=k 时命题成立证 n=k+ 1 时命题也成立 , 在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明 , 充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧 , 使问题得以简化 . - 17 - 考点 1 考点 2 考点 3 对点训练 2 (2018 江苏扬州一模 ,22) 已知正项数列 { a n } 中 , a 1 = 1, a n+ 1 = 1 + ( n ∈ N + ) 用数学归纳法证明 : a n 2 n 2 - 3 n . 证明如下 : 要比较 S n 与 2 n 2 - 3 n 的大小 , 只要比较 4 n 与 2 n 2 的大小 . 猜想 :4 n > 2 n 2 , n ∈ N + . 下面用数学归纳法证明 : ① 当 n= 1 时 ,4 > 2, 结论成立 . ② 假设当 n=k ( k ∈ N + ) 时结论成立 , 即 4 k > 2 k 2 , 则当 n=k+ 1 时 ,4 k+ 1 = 4 × 4 k > 4 × 2 k 2 = 2( k 2 + 2 k 2 +k 2 ), 因为 k ∈ N + , 所以 2 k 2 +k 2 ≥ 2 k+ 1, 所以 2( k 2 + 2 k 2 +k 2 ) ≥ 2( k 2 + 2 k+ 1) = 2( k+ 1) 2 , 所以 4 k+ 1 > 2( k+ 1) 2 , 即 n=k+ 1 时结论也成立 . 由 ①② 可知 , n ∈ N + 时 ,4 n > 2 n 2 , 所以 S n > 2 n 2 - 3 n , n ∈ N + . - 30 - 考点 1 考点 2 考点 3 思路分析 (1) 令 x= 2, 则 a i = 4 n , 令 x= 1, 则 a 0 = 3 n , 两式作差得到结果 ;(2) 要比较 S n 与 2 n 2 - 3 n 的大小 , 只要比较 4 n 与 2 n 2 的大小 , 接下来应用数学归纳法得到结果 . - 31 - 考点 1 考点 2 考点 3 1 . 数学归纳法是一种重要的数学思想方法 , 只适用于与正整数有关的命题 . 2 . 用数学归纳法证明的关键在于两个步骤 , 要做到 “ 递推基础不可少 , 归纳假设要用到 , 结论写明莫忘掉 ” . - 32 - 逻辑推理 —— 数学归纳法证明的核心素养 逻辑推理是指从一些事实和命题出发 , 依据逻辑规则推出一个命题的思维过程 , 主要包括两类 : 一类是从特殊到一般的推理 , 推理形式主要有归纳、类比 ; 一类是从一般到特殊的推理 , 推理形式主要有演绎 . (1) 利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题 , 其基本模式是 “ 归纳 — 猜想 — 证明 ”, 即先由合情推理发现结论 , 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 . (2)“ 归纳 — 猜想 — 证明 ” 的基本步骤是 “ 试验 — 归纳 — 猜想 — 证明 ” . 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 . - 33 - 典例 1 (2018 山东济宁期末 ,17) 1 = 1; 2 + 3 + 4 = 9; 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25; 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49; …… (1) 照此规律 , 归纳猜想第 n ( n ∈ N + ) 个等式 ; (2) 用数学归纳法证明 (1) 中的猜想 . 思路分析 (1) 第 n 个等式为 n+ ( n+ 1) + ( n+ 2) + … + (3 n- 2) = (2 n- 1) 2 ( n ∈ N + ) . (2) 利用数学归纳法证明猜想 . - 34 - 解 (1) 第 n 个等式为 n+ ( n+ 1) + ( n+ 2) + … + (3 n- 2) = (2 n- 1) 2 ( n ∈ N + ); (2) 用数学归纳法证明如下 : ① 当 n= 1 时 , 左边 = 1, 右边 = 1 2 = 1, 所以当 n= 1 时 , 原等式成立 . ② 假设当 n=k ( k ∈ N + ) 时原等式成立 , 即 k+ ( k+ 1) + ( k+ 2) + … + (3 k- 2) = (2 k- 1) 2 ( k ∈ N + ), 则当 n=k+ 1 时 ,( k+ 1) + ( k+ 2) + … + (3 k- 2) + (3 k- 1) + 3 k+ (3 k+ 1) = [(2 k- 1) 2 -k ] + (3 k- 1) + 3 k+ (3 k+ 1) = 4 k 2 + 4 k+ 1 = (2 k+ 1) 2 = [2( k+ 1) - 1] 2 , 所以当 n=k+ 1 时 , 原等式也成立 . 由 ①② 知 ,(1) 中的猜想对任何 n ∈ N + 都成立 . - 35 - 典例 2 (2018 江苏徐州期中 ,23) 已知数列 { a n } 满足 (1) 计算 a 2 、 a 3 、 a 4 的值 , 由此猜想数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 用数学归纳法对你的结论进行证明 . 解 (1) a 2 = 4, a 3 = 5, a 4 = 6, 猜想 : a n =n+ 2( n ∈ N + ) . (2) ① 当 n= 1 时 , a 1 = 3, 结论成立 ; ② 假设当 n=k ( k ≥ 1, k ∈ N + ) 时 , 结论成立 , 即 a k =k+ 2, 即 当 n=k+ 1 时 , 结论也成立 , 由 ①② 得 , 数列 { a n } 的通项公式为 a n =n+ 2( n ∈ N + ) . - 36 - - 37 - 反思 应用数学归纳法时 , 以下几点容易造成失分 : (1) 把初始值搞错 ; (2) 在推证当 n=k+ 1 时 , 没有用上归纳假设 ; (3) 对项数估算的错误 , 特别是寻找 n=k 与 n=k+ 1 的关系时 , 项数发生的变化易被弄错 .