高考数学破解命题陷阱专题07与导数有关的构造函数 20页

专题 07 与导数有关的构造函数 一．命题陷阱： 1.图形考虑不周陷阱； 2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）； 3. 已知条件中含有导函数值而无从下手； 4.恒成立中的最值陷阱 5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱 6.与三角函数有关的构造函数 7.忽视分母造成解集不完备 8.与指数函数对数函数有关的构造 二．典例分析及练习 （一）图形考虑不周陷阱 例 1. 已知    x xf x x Re   ，若关于 x 的方程    2 1 0f x mf x m    恰好有 4 个不相等的实数解， 则实数 m 的取值范围为（ ） A.  1 ,2 2,ee      B. 1 ,1e      C. 11, 1e     D. 1 ,ee      【答案】C 【解析】 化简可得 ( ) xf x x e  = , 0 , , 0 x x x xe x xe       当 0x  时， ' 1( ) x xf x e  ， 当 0≤x＜1 时， '( ) 0f x  ，当 1x  时， '( ) 0f x  ∴ ( )f x 在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减； 当 x＜0 时， '( ) 1 xx ef x  ＜0，f（x）为减函数， ∴函数 ( ) xf x x e  在（0，+∞）上有一个最大值为 1(1)f e  ，作出函数 ( )f x 的草图如图： 则方程 2 ( ) ( ) 1 0f x tf x t    等价为 2 1 0m tm t    ， 要使关于 x 的方程 2 ( ) ( ) 1 0f x tf x t    恰好有 4 个不相等的实数根， 等价为方程 2 1 0m tm t    有两个不同的根 m1＞ 1 e 且 0＜m2＜ 1 e ， 设 2( ) 1 0g m m tm t     ， 则   2 0 1 0 1 1 1 11 0 0 02 g t t t eg t te e e e tt                        解得 1＜t＜1+ 1 e ， 故答案选：C. 陷阱预防：这类问题根据已知条件画出函数的图象，利用图象求解时注意切线等特殊位置 练习 1. 已知函数     2 , 1,{ 1 ,1 2 x xf x ln x x     ，若不等式   4f x mx  恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ） A.  2, B.  2,0 C.  2,2 D.  0,2 【答案】D 【解析】画出函数 f（x）   2 , 1,{ 1 ,1 2 x x ln x x     的图象， 练习 2. 已知函数   lnxf x x  ，关于 x 的不等式    2 0f x af x  只有 1 个整数解，则实数 a 的取值范围 是（ ） A. 1 1ln2, ln32 3      B. 1 1ln2, ln32 3      C. 1 1ln2, ln32 3      D. 1 1ln2, ln32 3     【答案】D 【解析】由   lnxf x x  得   2 1 lnxf x x  。 ∴当 0 x e  时，    ' 0,f x f x 单调递增；当 x e 时，    ' 0,f x f x 单调递减。 ∴当 x e 时，  f x 有最大值，且    max 1f x f e e   ， 且 x   时，   0f x  ； 0x  时， , (1) 0x f   ； 故在(0,1)上，   0f x  ，在(1,+∞)上，   0f x  ， 作出函数 f(x)的图象如下： ①当 0a  时，由    2 0f x af x  得   0f x  ，解集为(0,1)∪(1,+∞)， 所以不等式的整数解有无数多个，不合题意； ②当 0a  时，由    2 0f x af x  得   0f x  或   0f x a  。 当   0f x  时，解集为(1,+∞)，有无数个整数解； 当   0f x a  时，解集为(0,1)的子集，不含有整数解。 故 0a  不合题意。 综上，选 D。 【方法规律】函数图象在研究零点个数、解的个数中的应用 （1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解； （2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 f(x)＝0 的 根就是函数 f(x)图象与 x 轴的交点的横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐 标； （3）研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题 转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． （二）思维定式陷阱（与等式有关的函数构造） 例 2. 若函数  f x 满足      ' 3 , 1 0xxf x f x x e f   ，则当 0x  时，  f x （ ） A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 【答案】C 【解析】由题设知，当 0x  时，      ' 3 2 2 ' x xf x xf x f x x e xex x x         ， 可得    1 (xf x x e C Cx    为常数），又  1 0f  ，得 C=0 所以    1 xf x x x e  . 故选 B. 陷阱预防：这类问题在构造函数是，注意逆向思维，构造出的函数的导函数与已知条件相同，或者能够利 用已知条件求解. 练习 1. 函数  f x 的导函数为  f x ，满足     ln2 xxf x f x x   ，且   1 2f e e  ，则  f x 的极值情况 为（ ） A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 【答案】D 【解析】     ln2 xxf x f x x      2 2x f x xf x lnx     '2x f x lnx     2x f x lnx x c    将 x e 代入可得：  2e f e elne e c     1 2f e e  c 2 e  则  2 2 ex f x lnx x     2 2 2 2 xlnx x ef x x     2 2 3´ 4 4 8 8 4 4 x lnx x lnx x exf x x     = 3 2xlnx x e x    令   2g x xlnx x e    则  ´ 1g x lnx  ，当  0,x e 时，  ´ 0g x  ，当  ,x e  时，  ´ 0g x  ， 故当 x e 时，  g x 取最大值 0，故   0g x  恒成立，故   0f x  恒成立，故既无极大值也无极小值， 故选 D 练习 2. 若函数  f x 在 R 上可导，且    2 2 2 3f x x f x   ，则( )． A.    0 4f f B.    0 4f f C.    0 4f f D. 以上都不对 【答案】C 【方法规律】常用的构造函数有：    f x xf x  ，构造 xf(x)； 2xf(x)+x2f′(x)，构造 x2f(x)；    xf x f x  ，构造  f x x ;    f x f x  ，构造   x f x e ；    f x f x  ，构造  xe f x .等等. （三）已知条件中含有导函数值陷阱 例 3.已知函数  f x 在 R 上可导，且      22 0 1xf x f x    ，则  0f 的值为（ ） A. ln2 B. 0 C. 1 D. 1 ln2 【答案】D 【解析】由      22 0 1xf x f x    可得： '( ) 2 ln2 '(0) 2xf x f x   ，令 0x  得 '(0) ln2f  ，所 以令 0x  代入原式得： (0) 1 ln2f   陷阱预防： 根据已知条件先求特殊值的导函数值后再求解 练习 1.若函数  f x 在 R 上可导，且    2 2 2 3f x x f x   ，则( )． A.    0 4f f B.    0 4f f C.    0 4f f D. 以上都不对 【答案】C 练习 2. 若函数   4 2f x ax bx c ＋ ＋ 满足  1 2f   ，则  1f   等于( ) A. －1 B. －2 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】∵   4 2f x ax bx c ＋ ＋ ，∴   3' 4 2f x ax bx  ，令函数     3' 4 2g x f x ax bx   ，可得    34 2g x ax bx g x      ，即函数  g x 为奇函数，∴  ' 1 ' 1 2f f    （） ，故选 B. （四）恒成立中的最值陷阱 例 4. 已知函数     2 , 1,{ 1 ,1 2 x xf x ln x x     ，若不等式   4f x mx  恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ） A.  2, B.  2,0 C.  2,2 D.  0,2 【答案】D 【解析】画出函数 f（x）   2 , 1,{ 1 ,1 2 x x ln x x     的图象， 由 y= 4 mx 可得直线在 y 轴上的截距为 4， 若 4   4f x mx  恒成立， y 4 mx  图像恒在分段函数的上方，故 2. 0 2.m m      故选：D． 陷阱预防： 恒成立问题中要分清求的是最大值还是最小值 练习 1. 函数  f x 在实数集 R 上连续可导，且    2 0f x f x  在 R 上恒成立，则以下不等式一定成立 的是（ ） A.     2 21 ff e ＞ B.     2 21 ff e ＜ C. f（-2）＞e3f（1） D. f（-2）＜e3f（1） 【答案】A 练习 2. 设函数  f x 的导函数为  f x ，且在 R 上    2 0f x xf x  恒成立，则  1f ，  2017 2017f ，  2018 2018f 的大小关系为（ ） A.      1 2018 2018 2017 2017f f f  B.      1 2017 2017 2018 2018f f f  C.      2018 2018 1 2017 2017f f f  D.      2018 2018 2017 2017 1f f f  【答案】D 【解析】设函数    2g x x f x ，则          22 2g x xf x x f x x f x xf x       ，因为    2 0f x xf x  在 R 上恒成立，故当 0x  时，   0g x  恒成立，所以函数    2g x x f x 在 0x  时，单调递减，所以      2018 2017 1g g g  ，即      2018 2018 2017 2017 1f f f  成立， 故选 D. 【方法规律】函数恒成立求参的问题，方法一般有：变量分离，转化成函数最值问题；直接构造函数，使 函数最值和 0 比较；分离成两个函数，让其中一个函数在另一个的上方或者下方. （五）含有导函数的式子中的和差构造 例 5.函数  f x 在其定义域内满足  xf x   xf x e  ，（其中  f x 为函数  f x 的导函数），  1f e ，则函数  f x A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 【答案】B 故选：B 陷阱预防： 根据含有导函数式子中和差，一般情况下，和考虑构造函数的积，差考虑函数的商，余弦函数 正好相反. 练习 1. 已知定义在 R 上的奇函数  f x 的导函数为  f x ，当 0x  时，  f x 满足，      2 f x xf x xf x  ，则  f x 在 R 上的零点个数为（ ） A. 5 B. 3 C. 1 或 3 D. 1 【答案】D 【解析】根据题意可构造函数  2 , 0x x f xF x xe （ ） （ ＜ ）， 则              2 2 2 2 '2 '' x x x xx x f x xf x xf xxf x e x f x e x f x eF x ee       （ ） ， 由题当 0x  时，  f x 满足，      2 f x xf x xf x  ，， ' 0F x （ ）＞ ， 即函数 F x（ ）在 0x＜ 时是增函数， 又 0 0F （ ） ， ∴当 0 0 0x F x F ＜ ，（ ）＜（ ） 成立， ∵对任意 2 0 0 0x xx f x f xe  ＜ ， ＞ ， （ ）＜ ， （ ）是奇函数， ∴ 0x＞ 时， 0f x（ ）＞ ，即 0f x （ ） 只有一个根就是 0． 故选 D。 练习 2. 设  f x 是定义在 ,0 上的可导函数，其导函数为  'f x ，且有    ' 0f x xf x  ，则不等式      2017 2017 1 0x f x f     的解集为（ ） A.  , 2017  B.  2018,0 C.  2018, 2017  D.  , 2018  【答案】C 【解析】 由      ' 0, 0f x xf x x   ，即   ' 0xf x    ，令    F x xf x ，则当 0x  时，得  ' 0F x  ，即  F x 在 ,0 上是增函数，      2017 +2017 +2017F x x f x   ，    1 1F f    ，即不等式等价为    2017 1F x F   ，  F x 在 ,0 上是增函数， 由    2017 1F x F   得， 2017 1x    ，即 2018x   ，又因为  f x 是定义在  ,0 ，所以 2017 0x   ，故 2017x   ，不等 式     2017 2017 1 0x f x f     的解集为  2018, 2017  ，故选 C. （六）与三角函数有关的构造函数 例 6.定义在 0, 2     上可导函数  f x 的导数为  f x ，且      cos sin 0, 0 0f x x f x x f   ，则下列 判断中，一定正确的是（ ） A. 26 3f f           B. 24 3f f           C.  ln2 0f  D. 26 4f f           【答案】A 故选 A. 陷阱预防： 构造函数时注意正弦、余弦的导数公式，尤其注意余弦的导数公式的符号 练习 1.定义在 0, 2      上的函数  f x ，  f x 是它的导函数，且恒有    cos sin 0xf x f x x  成 立，则 A. 2 34 3f f           B.   1sin1 1 2 6f f      C. 26 4f f           D. 36 3f f           【答案】B 【解析】构造函数    sing x f x x ,则  g x     cos sin 0xf x f x x  ,即 g(x)在 0, 2      上单调递 增,所以  16g g     ,即  sin 1 sin16 6f f      ,故选 B. 练习 2.定义在 0, 2      上的函数  y f x 满足：    tanf x f x x 恒成立，则下列不等式中成立的是 （ ） A. 3 6 3f f           B.   2 31 sin13 3f f      C. 2 6 4f f           D. 3 24 3f f           【答案】A 故答案选 A. 【方法规律】根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑： 1 原函数是函数和差的组合； 2 原函数是函数乘除的组合； 3 原函数是函数与 x 的乘除的组合； 4 原函数是函数与 xe 的乘除的组合； 5 原函数是函数与  sin cosx x 的乘除的组合； 6 原函数是函数与 lnx 的乘除的组合. （七）忽视分母造成解集不完备 例 7. 已知函数  f x 是定义在 0, 的可导函数，  'f x 为其导函数，当 0x  且 1x  时，    2 ' 01 f x xf x x   ，若曲线  y f x 在 1x  处的切线的斜率为 3 4  ，则  1f  （ ） A. 0 B. 1 C. 3 8 D. 1 5 【答案】C 【解析】当 0x＞ 且 1x  时，    2 ' 01 f x xf x x   ，可得： 1x＞ 时， 2 ' 0f x xf x（ ） （ ）＞ ； 1 0x＞ ＞ 时， 2 ' 0f x xf x（ ） （ ）＜ ． 令 2 0g x x f x x   （ ） （ ）， （ ， ）．  2' 2 ' 2 'g x xf x x f x x f x xf x    （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）．可得： 1x＞ 时， ' 0g x（ ）＞ ； 1 0x＞ ＞ 时， ' 0g x（ ）＜ ． 可得：函数 g x（ ）在 1x  处取得极值， 3' 1 2 1 ' 1 0 ' 1 4g f f f     （） （） （） ， （） ， 1 3 31 2 4 8f          （） ． 故答案为 3 8 陷阱预防： 解答时讨论分母的正负 练习 1. 对于 R 上可导的任意函数  f x ，若满足   1 0' x f x   ，则必有（ ） A.      0 2 2 1f f f  B.      0 2 2 1f f f  C.      0 2 2 1f f f  D.      0 2 2 1f f f  【答案】A 【解析】试题分析：由题意 1x  时，  ' 0f x  ，  f x 递减， 1x  时，  ' 0f x  ，  f x 递增， 因此    0 1f f ，    2 1f f ，所以      0 2 2 1f f f  ．故选 A． 练习 2. 设  'f x 为定义在 *R 上的函数  f x 的导函数，且    ' 0f xf x x   恒成立，则（ ） A.    3 4 4 3f f B.    3 4 4 3f f C.    3 3 4 4f f D.    3 3 4 4f f 【答案】A 【解析】    ' 0f xf x x   ，即    ' 0xf x f x x   ，设    f xg x x  ，则       2 '' xf x f xg x x  ，当 0x  时，  ' 0g x  恒成立，即  g x 在 0 +， 上单调递增，        4 34 3 , 4 3 f fg g    ，    3 4 4 3f f  ，故选 A. 【方法规律】求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、 概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数， 构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选 项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据①，联想到函数    F x xf x ，再结合条件判断出其单调性，进 而得出正确结论. （八）与指数函数对数函数有关的构造 例 8.定义在 R 上的函数  f x 与其导函数  f x 满足     1 xf x f x e  ，则下列不等式一定成立的是 （ ） A.    0 1f e ef  B.    0 1f e ef  C.    0 1f e f  D.    0 1f e f  【答案】A 【解析】由     1 xf x f x e  可得     0xe f x f x e     。 令    xg x e f x ex  ，则       0xg x e f x f x e      。 ∴函数  g x 在在 R 上为增函数， ∴    1 0g g ，即    1 0ef e f  ， ∴    0 1f e ef  .选 A. 陷阱预防：构造函数时注意原函数是函数与 xe 的乘除的组合,原函数是函数与 lnx 的乘除的组合 练习 1.定义域为 R 的可导函数  y f x 的导函数为  f x ,满足    f x f x  ,且  0 1f  则不等式   1x f x e  的解集为( ) A.  ,0 B.  0, C.  ,2 D.  2, 【答案】B 练习 2.已知定义在 0, 上的函数  f x 的导数为  f x ，且满足     2ln 2f x x x f x ， 则（ ） A.      3 26 2 3f e f e f e  B.      2 36 3 2f e f e f e  C.      2 36 3 2f e f e f e  D.      3 26 2 3f e f e f e  【答案】B 【解析】令 g（x）=   2ln F x x ，则 g′（x）         2 22 * ln 2 0 ln f x x x f x x x     , 故 g（x）在（0，+∞）递增， 故 g（e）＜g（e2）＜g（e3）， 故 6f（e）＜3f（e2）＜2f（e3）， 故选：B． 练习 3.设函数  f x 是定义在  ,0 上的可导函数，其导函数为  'f x ，且有    ' 3xf x f x ，则不等 式      38 2015 2015 2 0f x x f     的解集为（ ） A.  , 2017  B.  2017,0 C.  2017, 2015  D.  , 2018  【答案】C 【解析】函数  f x 是定义在 ,0 上的可导函数，其导函数为  f' x ，且有    xf' x 3f x ，，即 0,x     2 ' 3 0x f x xf x   ，设     3 f xF x x  ，则即      2 3 6 ' 3 ' 0 x x f x xf xf x x x          ，则当 0x  时， 得  ' 0F x  ，即  F x 在 ,0 上是减函数，      3 20152015 2015 f xF x x     ，         3 2 22 82 f fF       ，即不等式      38 2015 2015 2 0f x x f     等价为    2015 2 0F x F        2014 2F x F   ，  F x 在 ,0 是减函数，可得， 2015 2x    ，即 2017x   ，又因为  f x 定义在 ,0 ，所以 2015 0,x 2015x     , 不等式      38 2015 2015 2 0f x x f     的解集为  2017, 2015  ,故选 C. 【方法规律】解答这类题的关键是构造函数，主要考查导数运算法则的逆用.根据含导函数的不等式构造原 函数时要注意从以下几种类型考虑：①原函数是函数和差的组合；②原函数是函数乘除的组合；③原函数 是函数与 x 的乘除的组合；④原函数是函数与 xe 的乘除的组合；⑤原函数是函数与  sin cosx x 的乘除的组 合；⑥原函数是函数与 lnx 的乘除的组合. 三．高考真题体验 1.若 2x   是函数 2 1( ) ( 1) xf x x ax e    的极值点，则 ( )f x 的极小值为（ ） A. 1 B. 32e C. 35e D.1 【答案】A 【解析】 试题分析：由题可得 1 2 1 2 1( ) (2 ) ( 1) [ ( 2) 1]x x xf x x a e x ax e x a x a e             因为 ( 2) 0f    ，所以 1a   ， 2 1( ) ( 1) xf x x x e    ，故 2 1( ) ( 2) xf x x x e     令 ( ) 0f x  ，解得 2x   或 1x  ，所以 ( )f x 在 ( , 2),(1, )   单调递增，在 ( 2,1) 单调递减 所以 ( )f x 极小值为   1 11 (1 1 1) 1f e      ，故选 A。 2.函数 y=f(x)的导函数 ( )y f x 的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是 【答案】D 【解析】 试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于 0，因此选 D． 3.已知函数 2 1 1( ) 2 ( )x xf x x x a e e      有唯一零点，则 a= A． 1 2  B． 1 3 C． 1 2 D．1 【答案】C 【解析】 试题分析：函数的零点满足  2 1 12 x xx x a e e      ， 设   1 1x xg x e e    ，则    2 1 1 1 1 1 1 1 1x x x x x x eg x e e e e e              ， 当   0g x  时， 1x  ，当 1x  时，   0g x  ，函数  g x 单调递减， 当 1x  时，   0g x  ，函数  g x 单调递增， 当 1x  时，函数取得最小值  1 2g  ， 设   2 2h x x x  ，当 1x  时，函数取得最小值 1 ， 若 0a  ，函数  h x 与函数  ag x 没有交点， 当 0a  时，    1 1ag h  时，此时函数  h x 和  ag x 有一个交点， 即 2 1a    ，解得 1 2a  .故选 C. 4.设函数 ( )f x = (2 1)xe x ax a   ,其中 a 1，若存在唯一的整数 0x ，使得 0( )f x 0，则 a 的取值范围是 （ ） (A)[- 3 2e ，1） (B)[- 3 2e ， 3 4 ） (C)[ 3 2e ， 3 4 ） (D)[ 3 2e ，1） 【答案】D 当 0x  时， (0)g =-1， (1) 3 0g e  ，直线 y ax a  恒过（1,0）斜率且 a ，故 (0) 1a g    ，且 1( 1) 3g e a a      ，解得 3 2e ≤ a ＜1，故选 D. 5.设函数 ' ( )f x 是奇函数 ( )( )f x x R 的导函数， ( 1) 0f   ，当 0x  时， ' ( ) ( ) 0xf x f x  ，则使得 ( ) 0f x  成立的 x 的取值范围是（ ） A． ( , 1) (0,1)   B． ( 1,0) (1, )  C． ( , 1) ( 1,0)   D． (0,1) (1, ) 【答案】A 【解析】记函数 ( )( ) f xg x x  ，则 ' ' 2 ( ) ( )( ) xf x f xg x x  ，因为当 0x  时， ' ( ) ( ) 0xf x f x  ，故当 0x  时， ' ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在 (0, ) 单调递减；又因为函数 ( )( )f x x R 是奇函数，故函数 ( )g x 是偶函数， 所以 ( )g x 在 ( ,0) 单调递减，且 ( 1) (1) 0g g   ．当 0 1x  时， ( ) 0g x  ，则 ( ) 0f x  ；当 1x   时， ( ) 0g x  ，则 ( ) 0f x  ，综上所述，使得 ( ) 0f x  成立的 x 的取值范围是 ( , 1) (0,1)   ，故选 A． 6.对二次函数 2( )f x ax bx c   （ a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论 是错误的，则错误的结论是（ ） A． 1 是 ( )f x 的零点 B．1 是 ( )f x 的极值点 C．3 是 ( )f x 的极值 D. 点 (2,8) 在曲线 ( )y f x 上 【答案】A 【解析】若选项 A 错误时，选项 B、C、D 正确，   2f x ax b   ，因为1是  f x 的极值点，3是  f x 的 极值，所以     1 0 1 3 f f    ，即 2 0 3 a b a b c       ，解得： 2 3 b a c a      ，因为点 2,8 在曲线  y f x 上，所以 4 2 8a b c   ，即  4 2 2 3 8a a a      ，解得： 5a  ，所以 10b   ， 8c  ，所以   25 10 8f x x x   ，因为      21 5 1 10 1 8 23 0f           ，所以 1 不是  f x 的零点，所以 选项 A 错误，选项 B、C、D 正确，故选 A． 7.曲线 2y x 与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】 1 6 【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组 2y x y x     得两曲线的交点坐标为 (0,0),(1,1) ，由 图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积   1 1 2 2 3 0 0 1 1 1 2 3 6S x x dx x x        . 8.若定义在 R 上的函数  f x 满足  0 1f   ，其导函数  f x 满足   1f x k   ，则下列结论中一 定错误的是（ ） A． 1 1f k k      B． 1 1 1f k k       C． 1 1 1 1f k k       D． 1 1 1 kf k k       【答案】C