重庆市黔江新华中学校2019-2020高二下学期5月月考数学试卷 14页

重庆市黔江新华中学校2019-2020高二下学期 ‎5月月考数学试卷 ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题共12小题，每题5分，共60分 一、选择题（本题共12道小题，每小题0分，共0分）‎ ‎1.‎ 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎1.D ‎【分析】‎ 先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.‎ ‎【详解】，，.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的模计算，较基础.‎ ‎2.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于 （ ）‎ ‎ A．6 B．7 C．5 D．1‎ 答案及解析：‎ ‎2.A提示：由可求出a=6.‎ ‎3.‎ 已知i是虚数单位，若复数，则z的虚部是（ ）‎ A. 3 B. 3i C. 1 D. i 答案及解析：‎ ‎3.C ‎【分析】‎ 利用复数的乘法运算法则计算可得复数，根据复数的概念可得答案.‎ ‎【详解】，‎ 所以复数的虚部为1.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，考查了复数的概念，属于基础题.‎ ‎4.若，则的解集为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案及解析：‎ ‎4.A ‎5.已知函数，则的值为 （ ）‎ A. B.0 C.-1 D.1‎ 答案及解析：‎ ‎5.B ‎6.‎ 已知函数在处的导数为l，则（ ）‎ A. 1 B. －1 C. 3 D. －3‎ 答案及解析：‎ ‎6.B ‎【分析】‎ 根据导数的定义可得到， ，然后把原式等价变形可得结果.‎ ‎【详解】因为，且函数在处的导数为l，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的定义及计算，较基础.‎ ‎7.函数在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案及解析：‎ ‎7.C 略 ‎8.曲线上的点到直线的最短距离是 （ ）‎ ‎ 0 ‎ 答案及解析：‎ ‎8.A ‎9函数f(x)=+sinx的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案及解析：‎ ‎9.D 解：函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，‎ 当x＞0，x→0，f（x）＞0，且f（x）→0，排除A，‎ 函数的导数f′（x）＝x2+cosx，则f′（x）为偶函数，‎ 当x＞0时，设h（x）＝x2+cosx，则h′（x）＝2x﹣sinx＞0恒成立，即h（x）≥h（0）＝1＞0，‎ 即f′（x）＞0恒成立，则f（x）在R上为增函数，‎ 故选：D．‎ ‎10.若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案及解析：‎ ‎10.C ‎11.定义在R上的函数满足：，，则不等式 的解集为（ ）‎ A. (0,+∞) B. (－∞,0)∪(3,+ ∞) C. (－∞,0)∪(0,+∞) D. (3,+ ∞)‎ A ‎12.已知，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案及解析：‎ ‎12.C ‎，使得成立，则，∵，，∴‎ 评卷人 得分 二、填空题（本题共1道小题，每小题0分，共0分）‎ ‎13.‎ 过原点作曲线的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．‎ 答案及解析：‎ ‎13.（1,e） e 试题分析：设切点为，因为y=ex，所以，所以切线方程为：，因为切线方程过原点，把原点坐标代入，得，所以切点坐标为，切线的斜率为。‎ 考点：导数的几何意义；曲线切线方程的求法。‎ 点评：我们要注意“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的区别。属于基础题型。‎ ‎14.‎ 设复数，其中i为虚数单位，则＝ ．‎ 答案及解析：‎ ‎14.5‎ ‎∵，∴．‎ ‎15.‎ 已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r，则△ABC的面积．类比这一结论有：若三棱锥A-BCD的四个面的面积分别为，内切球半径为R，则三棱锥A-BCD的体积______．‎ 答案及解析：‎ ‎15.‎ ‎【分析】‎ 通过面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球．‎ ‎【详解】解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R ‎，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．即三棱锥体积VA﹣BCDR（S1+S2+S3+S4）．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．‎ ‎【点睛】类比推理是一种非常重要的推理方式，可以以这种推理方式发现证明的方向，但此类推理的结果不一定是正确的，需要证明．‎ ‎16.‎ 若x=1是函数f(x)=(x2+ax－5)ex的极值点，则f(x)在[－2,2]上的最小值为______.‎ 答案及解析：‎ ‎16.－3e ‎【分析】‎ 先对f(x)求导，根据可解得a的值，再根据函数的单调性求出区间上的最小值。‎ ‎【详解】，‎ 则，解得，所以，‎ 则.令，得或；‎ 令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以.‎ ‎【点睛】本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由求出未知量a。‎ 四、解答题（本题共6道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,共0分）‎ ‎17.‎ 已知函数，曲线在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数a，m的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间[1,2]上的最值.‎ 答案及解析：‎ ‎17.（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为－2，最小值为.‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ），‎ ‎∵曲线在处的切线方程为，‎ ‎∴解得，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，‎ 令，解得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，，‎ ‎∴在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.‎ ‎18.‎ 已知复数.‎ ‎（1）当实数m取什么值时，复数z是:①实数； ②虚数；③纯虚数；‎ ‎（2）在复平面内，若复数z所对应的点在第二象限，求m的取值范围.‎ 答案及解析：‎ ‎18.（1）①1或2，②且，③；（2）‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①由，即可求出结果；②根据，即可求出结果；‎ ‎③根据，即可求出结果；‎ ‎（2）由复数所对应的点在第二象限，列出不等式组，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）①若是实数，则，解得或；‎ 即，当或时，复数是实数；‎ ‎②若是虚数，则，解得且；‎ 即，当且时，复数是虚数；‎ ‎③若是纯虚数，则，解得；‎ 即，当时，复数是纯虚数；‎ ‎（2）因为在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，‎ 所以，即，解得.‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的分类与复数的几何意义，熟记复数的概念以及复数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎19.‎ 已知函数.‎ ‎（1）求曲线在原点处的切线方程.‎ ‎（2）当时，求函数的零点个数;‎ 答案及解析：‎ ‎19.（1）（2）函数零点个数为两个 ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线在原点处的切线方程；‎ ‎（2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，则，‎ 从而曲线在原点处的切线方程为．‎ ‎（2）由（1）知，令得或，‎ 从而函数单调增区间为，单调减区间为，‎ 当时，恒成立，所以在上没有零点；‎ 当时，函数在区间单调递减，且，存在唯一零点；‎ 当时，函数在区间单调递增，且，存在唯一零点．‎ 综上，当时，函数零点个数为两个.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20.（08年宁夏、海南卷文）（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为 ‎。‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线上任一点处的 切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。‎ 答案及解析：‎ ‎20.【解析】（１）方程可化为，当时，；‎ 又，于是，解得，故 ‎（２）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为 ‎，即 令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；‎ 令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；‎ 所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；‎ 故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为６；‎ ‎21.(2009山东卷理)（本小题满分12分）‎ 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.‎ ‎（1）将y表示成x的函数；‎ ‎（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。‎ 答案及解析：‎ ‎21.解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,‎ 其中当时，y=0.065,所以k=9‎ 所以y表示成x的函数为 A ‎ B ‎ C ‎ x ‎ ‎（2）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.‎ 解法二: （1）同上.‎ ‎（2）设,‎ 则,,所以 当且仅当即时取”=”.‎ 下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.‎ 设04×240×240‎ ‎9 m1m2<9×160×160所以,‎ 所以即函数在(0,160)上为减函数.‎ 同理,函数在(160,400)上为增函数,设1609×160×160‎ 所以,‎ 所以即函数在(160,400)上为增函数.‎ 所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,‎ 所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.‎ ‎22.已知函数 ‎(Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；‎ ‎(Ⅱ）讨论函数的单调区间；‎ ‎(Ⅲ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围.‎ 答案及解析：‎ ‎22.（Ⅰ），得切线斜率为 据题设，，所以，故有 所以切线方程为即 ‎(Ⅱ）‎ 当时，由于，所以，可知函数在定义区间上单调递增 当时，，若，则，可知当时，有，函数在定义区间上单调递增 若，则，可得当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。‎ 综上，当时，函数的单调递增区间是定义区间；当时，函数的单调增区间为，减区间为 ‎(Ⅲ）当时，考查，不合题意，舍；‎ 当时，由（Ⅱ）知.‎ 故只需，即 令，则不等式为，且。‎ 构造函数，则，知函数在区间上单调递增。‎ 因为，所以当时，，‎ 这说明不等式的解为，即得.‎ 综上，实数的取值范围是. ‎ 略