2018届二轮复习专题2第4讲导数的简单应用课件（66张）（全国通用） 65页

第一部分 专题强化突破 专题二　函数、不等式、导数 第四讲　导数的简单应用 ( 文 ) 第四讲　导数的简单应用与定积分 ( 理 ) 1 高考考点聚焦 2 核心知识整合 3 高考真题体验 4 命题热点突破 5 课后强化训练 高考考点聚焦 高考考点 考点解读 导数的几 何意义 ( 文 ) 1. 求过某点的切线的斜率、方程或切点的坐标 2 ．根据过某点切线方程或其与某线平行、垂直等求参数的值 导数与定积分 的几何意义 ( 理 ) 1. 确定或应用过某点的切线的斜率 ( 方程 ) 2 ．定积分的简单计算或利用定积分求某些图形的面积 利用导数研究 函数的单调性 1. 利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性 ( 区间 ) 2 ．根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围． 利用导数研究函数的极值和最值 1. 利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值 2 ．根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1) 理解并掌握求导公式和求导法则及定积分的计算公式及性质． (2) 熟练掌握利用导数研究曲线切线问题、函数的单调性、极 ( 最 ) 值问题的方法和规律． 预测 2018 年命题热点为： (1) 根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数的取值问题． (2) 利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式 ( 主要含 e x ) ，对数式 ( 主要含 ln x ) 及三角式 ( 主要含 sin x ， cos x ) 函数的单调性、极 ( 最 ) 值问题． 核心知识整合 1 ． 基本初等函数的八个导数公式 原函数 导函数 f ( x ) ＝ C ( C 为常数 ) f ′ ( x ) ＝ ________ f ( x ) ＝ x α ( α ∈ R ) f ( x ) ＝ __________ f ( x ) ＝ sin x f ′ ( x ) ＝ __________ f ( x ) ＝ cos x f ′ ( x ) ＝ __________ f ( x ) ＝ a x ( a >0 ， a ≠ 1) f ′ ( x ) ＝ __________ f ( x ) ＝ e x f ′ ( x ) ＝ __________ f ( x ) ＝ log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) f ′ ( x ) ＝ __________ 　 f ( x ) ＝ ln x f ′ ( x ) ＝ __________ 　 0 　 αx α － 1 　 cos x 　 － sin x 　 ax ln a 　 e x 　 f ′ ( x )± g ′ ( x ) 　 f ′ ( x )· g ( x ) ＋ f ( x )· g ′ ( x ) 　 y ′ u · u ′ x 　 3 ． 切线的斜率 函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数是曲线 f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率，因此曲线 f ( x ) 在点 P 处的切线的斜率 k ＝ _____________ ，相应的切线方程为 ________________________ ． 4 ． 函数的单调性 在某个区间 ( a ， b ) 内，如果 ______________________ ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内单调递增 ( 单调递减 ) ． f ′ ( x 0 ) 　 y － f ( x 0 ) ＝ f ′ ( x 0 )( x － x 0 ) 　 f ′ ( x 0 )>0( f ′ ( x 0 )<0) 　 5 ． 函数的极值 设函数 f ( x ) 在点 x 0 附近有定义，如果对 x 0 附近所有的点 x ，都有 __________ ，那么 f ( x 0 ) 是函数的一个极大值，记作 y 极大值 ＝ f ( x 0 ) ；如果对 x 0 附近的所有的点都有 __________ ，那么 f ( x 0 ) 是函数的一个极小值，记作 y 极小值 ＝ f ( x 0 ) ．极大值与极小值统称为极值． 6 ． 函数的最值 将函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 内的 __________ 与 ____________________________ ，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． f ( x )< f ( x 0 ) 　 f ( x )> f ( x 0 ) 　 各极值　 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较　 1 ．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视 “ 导数等于零，并且两侧导数的符号相反 ” 这两个条件同时成立． 2 ．混淆在点 P 处的切线和过点 P 的切线：前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点，求解时应先设出切点坐标． 3 ．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极 ( 最 ) 值应先求定义域． ( 理 )4. 对复合函数求导法则用错． 高考真题体验 D 　 [ 解析 ] 　 观察导函数 f ′ ( x ) 的图象可知， f ′ ( x ) 的函数值从左到右依次为小于 0 ，大于 0 ，小于 0 ，大于 0 ， ∴ 对应函数 f ( x ) 的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除 A ， C ． 如图所示， f ′ ( x ) 有 3 个零点，从左到右依次设为 x 1 ， x 2 ， x 3 ，且 x 1 ， x 3 是极小值点， x 2 是极大值点，且 x 2 >0 ，故选项 D 确，故选 D ． A 　 [ 解析 ] 　 函数 f ( x ) ＝ ( x 2 ＋ ax － 1)e x － 1 则 f ′ ( x ) ＝ (2 x ＋ a )e x － 1 ＋ ( x 2 ＋ ax － 1)·e x － 1 ＝ e x － 1 · [ x 2 ＋ ( a ＋ 2) x ＋ a － 1] ． 由 x ＝－ 2 是函数 f ( x ) 的极值点得 f ′ ( － 2) ＝ e － 3 ·(4 － 2 a － 4 ＋ a － 1) ＝ ( － a － 1)e － 3 ＝ 0 ， 所以 a ＝－ 1 ． 所以 f ( x ) ＝ ( x 2 － x － 1)e x － 1 ， f ′ ( x ) ＝ e x － 1 ·( x 2 ＋ x － 2) ． 由 e x － 1 >0 恒成立，得 x ＝－ 2 或 x ＝ 1 时， f ′ ( x ) ＝ 0 ， 且 x < － 2 时， f ′ ( x )>0 ；－ 2< x <1 时， f ′ ( x )<0 ； x >1 时， f ′ ( x )>0 ． 所以 x ＝ 1 是函数 f ( x ) 的极小值点． 所以函数 f ( x ) 的极小值为 f (1) ＝－ 1 ． 故选 A ． A 　 [ 解析 ] 　 (1) 对于函数 y ＝ sin x ， y ′ ＝ cos x ，设图象上存在这样两点 ( x 1 ， sin x 1 ) ， ( x 2 ， sin x 2 ) ，那么两切线的斜率 k 1 ＝ cos x 1 ， k 2 ＝ cos x 2 ，令 k 1 · k 2 ＝ cos x 1 ·cos x 2 ＝－ 1 ，则 x 1 ＝ 2 k π ， x 2 ＝ 2 k π ＋ π( x 2 ＝ 2 k π ， x 1 ＝ 2 k π ＋ π) ， k ∈ Z ，即存在这样的两点，所以具有 T 性质． D 　 x － y ＋ 1 ＝ 0 　 3 　 [ 解析 ] 　 因为 f ′ ( x ) ＝ (2 x ＋ 3)e x ，所以 f ′ (0) ＝ 3 ． 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 　 命题热点突破 命题方向 1 　 ( 文 ) 导数的几何意义　 ( 理 ) 导数的几何意义与定积分 (1,1) 　 － 3 　 C 　 『 规律总结 』 1 ． 求曲线 y ＝ f ( x ) 的切线方程的三种类型及方法 (1) 已知切点 P ( x 0 ， y 0 ) ，求 y ＝ f ( x ) 在点 P 处的切线方程：求出切线的斜率 f ′ ( x 0 ) ，由点斜式写出方程． (2) 已知切线的斜率为 k ，求 y ＝ f ( x ) 的切线方程． 设切点 P ( x 0 ， y 0 ) ，通过方程 k ＝ f ′ ( x 0 ) 解得 x 0 ，再由点斜式写出方程． (3) 已知切线上一点 ( 非切点 ) ，求 y ＝ f ( x ) 的切线方程： 设切点 P ( x 0 ， y 0 ) ，利用导数求得切线斜率 f ′ ( x 0 ) ，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程 ( 组 ) 解得 x 0 ，再由点斜式或两点式写出方程． 2 ．根据过某点切线方程 ( 斜率 ) 或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程 ( 组 ) 或函数求解． 3 ． ( 理 ) 利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 关键点一：正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值． 关键点二：根据图形的特征，选择合适的积分变量．在以 y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为 x ＝  ( y ) 的形式，同时，积分上、下限必须对应 y 的取值． 易错提醒：求曲线的切线方程时，务必分清点 P 处的切线还是过点 P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点，求解时应先求出切点坐标 ． C 　 [ 解析 ] 　 依题意得， f ′ ( x ) ＝－ a sin x ， g ′ ( x ) ＝ 2 x ＋ b ，于是有 f ′ (0) ＝ g ′ (0) ，即－ a sin 0 ＝ 2 × 0 ＋ b ， b ＝ 0 ； m ＝ f (0) ＝ g (0) ，即 m ＝ a ＝ 1 ，因此 a ＋ b ＝ 1 ． B 　 D 　 命题方向 2 　利用导数研究函数单调性 由函数 y ＝ h ( x ) 定义域为 (0 ，＋ ∞ ) 知， 当 0< x <1 时， h ′ ( x )>0 ，当 x >1 时 h ′ ( x )<0 ， 所以当 x ＝ 1 时，函数 h ( x ) 取得最大值 1 － m ． 要使函数 y ＝ g ( x ) 的图象在直线 y ＝ x ＋ m 的下方，则 1 － m <0 ，所以 m >1 ． 故 m 的取值范围是 (1 ，＋ ∞ ) ． 『 规律总结 』 1 ． 导数与单调性之间的关系 (1) 导数大 ( 小 ) 于 0 的区间是函数的单调递增 ( 减 ) 区间． (2) 函数 f ( x ) 在 D 上单调递增 ⇔∀ x ∈ D ， f ′ ( x ) ≥ 0 且 f ′ ( x ) 在区间 D 的任何子区间内都不恒为零； 函数 f ( x ) 在 D 上单调递减 ⇔∀ x ∈ D ， f ′ ( x ) ≤ 0 且 f ′ ( x ) 在区间 D 的任何子区间内都不恒为零． 2 ． 根据函数的单调性求参数取值范围的思路 (1) 求 f ′ ( x ) ． (2) 将单调性转化为导数 f ′ ( x ) 在该区间上满足的不等式恒成立问题求解． 命题方向 3 　用导数研究函数的极值与最值 『 规律总结 』 利用导数研究函数极值与最值的步骤 (1) 利用导数求函数极值的一般思路和步骤． ① 求定义域； ② 求导数 f ′ ( x ) ； ③ 解方程 f ′ ( x ) ＝ 0 ，研究极值情况； ④ 确定 f ′ ( x 0 ) ＝ 0 时 x 0 左右的符号，定极值． (2) 若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程 f ′ ( x ) ＝ 0 根的大小或存在情况来讨论求解． (3) 求函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上最大值与最小值的步骤 ① 求函数 y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的极值； ② 将函数 y ＝ f ( x ) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 提醒： (1) 求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点； (2) 求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大 ( 小 ) 值； (3) 对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论． 课后强化训练