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- 2021-04-20 发布
2017-2018学年吉林省榆树市第一高级中学高二下学期期末考试数学试卷（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1）、开始答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名。
2）、将选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案答在答题卡上对应的答题区域内，在试卷上作答无效。
3）、考生必须保持答题卡的整洁。
第I卷
一、选择题（本大题包括12题，每小题5分，共60分）
1.已知函数且，则的值为 ( )
A 1 B 2 C D -2
2.已知函数是可导函数，且，则( )
A B C D
3.已知复数，则共轭复数 ( )
A B C D
4. 设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，
则a的值为( )
A B C 5 D 3
5. 若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望E(X)=24，则p的值是( )
A B C D
6. 若实数满足，则( )
A 都小于0 B 都大于0
C 中至少有一个大于0 D 中至少有一个小于0
7.设,，…， 是变量和的个样本点，
直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，
以下结论中正确的是( )
A 和的相关系数为直线l的斜率
B 和的相关系数在0到1之间
C 当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
D 直线过点()
8. ( )
A B C D
9.某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有多少种。 （ ）
A 60 B 90 C 120 D 150
10. 设则Sk+1=( )
A B
C D
11.如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
A B C D
12.已知函数的导数是，若，都有成立，则( )
A B
C D
第II卷
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）
13. 展开式中不含x4项的系数的和为
14. 两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是 ．
15.甲、乙、丙三名同学在考试中只有一名同学得了满分。当他们被问到考试谁得了满分时，
回答如下。
甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话。事实证明，在这三名同学中，
只有一人说的是假话，那么满分同学是
16.已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：
在y2＝2px两边同时求导，得：2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率：.
试用上述方法求出双曲线在P处的切线方程为_________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分）
17. （本题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为 (为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；
(2)若直线与曲线的两个交点分别为，直线与轴的交点为，求的值．
18. (满分10分)已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间．
19. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是和. 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立.
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.
20. 已知函数
（1） 讨论的单调性。
（2） 如果，求的取值范围。
21. 在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：
几何证
明选讲
极坐标与
参数方程
不等式
选讲
合计
男同学
12
4
6
22
女同学
0
8
12
20
合计
12
12
18
42
(1) 在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选
讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.
几何类
代数类
合计
男同学
16
6
22
女同学
8
12
20
合计
24
18
42
能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？
(1) 在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随
机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；
②记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
下面临界值表仅供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22. 已知函数
(1)若 求实数a的取值范围；
(2)证明：
高二联考数学试卷（理）答案
考试时间：120分钟 卷面总分：150分
一、选择题（本大题包括12题，每小题5分，共60分）
1.已知函数且，则的值为( )
(A)1 (B)2 (C) (D)-2
【解析】选D.因为f′(x)=acos x，
所以f′(π)=acos π=-a=2,
所以a=-2，故选D.
2.已知函数是可导函数，且，则( )
A B C D
【解析】选C
3.已知复数，则共轭复数( )
A B C D
【解析】选B
4. 设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，则a的值为( )
(A) (B) (C)5 (D)3
【解析】选A.正态曲线关于直线x=3对称，而概率表示它与x轴所围成的面积，
∴， ∴a=.
5. 若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望E(X)=24，则p的值是( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选C．∵X～B(100,p),∴E(X)=100p.
又∵E(X)=24,∴24=100p,
6. 若实数a,b满足a+b<0，则( )
(A)a,b都小于0 (B)a,b都大于0
(C)a,b中至少有一个大于0 (D)a,b中至少有一个小于0
【解析】选D.假设a,b都不小于0，即a≥0,b≥0，则a+b≥0，这与a+b<0相矛盾，因此假设错误，即a,b中至少有一个小于0.
7.设(x1,y1),(x2,y2)，…，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )
(A)x和y的相关系数为直线l的斜率
(B)x和y的相关系数在0到1之间
(C)当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的
个数一定相同
(D)直线l过点()
【思路点拨】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心、相关系数、线性回归方程的意义等进行判断．
【解析】选D.在A中，相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度，它们的计算公式也不相同，故A不正确；在B中，相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在-1到0之间时，两个变量负相关，故B不正确；在C中， l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布，故C不正确；由回归直线方程的计算公式可知直线l必过点()，故D正确.
8. ( )
A B C D
【解析】选B 利用定积分几何意义和积分性质。
9.某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有多少种。（）
A 60 B 90 C 120 D 150
【解析】选D.
10. 设则Sk+1=( )
(A) (B)
(C) (D)
选C.由已知得
因此
11.如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
【解析】选A.观察可知：该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁，故下一个呈现出来的图形是A.
12.已知函数的导数是，若，都有成立，则( )
A B
C D
【解析】选D
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）
13.展开式中不含x4项的系数的和为
【解析】选B.∵展开式中各项的系数的和为
展开式的通项为
∴x4项为即x4项的系数为1.
∴不含x4项的系数的和为1-1=0.
14. 两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是 ．
【解析】答案：乙 利用数学期望验证.
15.甲、乙、丙三名同学在考试中只有一名同学得了满分。当他们被问到考试谁得了满分时，
回答如下。
甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话。事实证明，在这三名同学中，
只有一人说的是假话，那么满分同学是
【解析】答案：甲 可发现乙说的是假话.
16.已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时求导，得：
2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率：.
试用上述方法求出双曲线在P处的切线方程为_________.
【解析】用类比的方法对两边同时求导得，
∴切线方程为
答案:
三、解答题（本大题包括6小题，共70分）
17. （本题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为 (为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；
(2)若直线与曲线的两个交点分别为，直线与轴的交点为，求的值．
解 (1)直线l的参数方程为(t为参数)，
消去参数t，得x＋y－1＝0．
曲线C的参数方程为(θ为参数)，
利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．
令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ．
(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．
把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，
∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．
由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．
18.(满分10分)已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间．
（1）；（2）
【解析】
（1）∵
∴，
∴，
又，
∴函数的图象在点处的切线方程为，
即。
（2）由（1）得，
令，解得或。
∴函数的单调递减区间为。
19. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是和. 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立.
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.
解： 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题可知
, ，，.
且事件E与F，E与，与，与都相互独立.
(1) 记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则，于是
，故所求概率为.
（2）设企业可获利润为（万元），则的可能取值为0，100，120，220. 又因
，，
，.
故所求分布列为
X
0
100
120
220
P
数学期望为 .
20. 已知函数
（1） 讨论的单调性。
（2） 如果，求的取值范围。
解：（1）求导得：
当时，恒成立，所以在上是增函数，
当时，令，则
①当时，，所以在上是减函数；②时，，所以在上是增函数。
（2）由（1）可知，时，
，解得
又由于
综上所述：
21.在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：
几何证
明选讲
极坐标与
参数方程
不等式
选讲
合计
男同学
12
4
6
22
女同学
0
8
12
20
合计
12
12
18
42
(1)在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.
几何类
代数类
合计
男同学
16
6
22
女同学
8
12
20
合计
24
18
42
能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？
(2)在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；
②记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
下面临界值表仅供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】
解：(1)由题意知K2的观测值k＝＝≈4.582>3.841，
所以有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．
②由题意知X的可能取值为0，1，2.
依题意P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
X
0
1
2
P
P (X＝2)＝＝.
从而X的分布列为
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
22. 已知函数
(1)若 求实数a的取值范围；
(2)证明：
(1)因为
所以由 得
令 则
当时， 当时，
所以是最大值点， 故
即a的取值范围是
(2)由(1)知 故
当时，
当时，
综上，