数学理卷·2019届安徽省师大附中高二上学期期中考试（2017-11） 10页

安徽师范大学附属中学 期 中考查 高二数学试卷（理） 命题教师：曹多保 审题教师：张 家武 时间 120 分钟，满分 100 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选 项中只有一个是符合题目要求的) 1．一组数据的方差为 s2，将这组数据中的每一个数都乘以 2 所得到的一组新数据的方差为 ( ) A． 21 2 s B． 22s C． 24s D． 2s 2．在 100 个零件中，有一级品 20 个、二级品 30 个、三级品 50 个，从中抽取 20 个作为 样本． ①将零件编号为 00,01，…，99，抽签取出 20 个； ②采用系统抽样法，将所有零件分成 20 组，每组 5 个，然后每组中随机抽取 1 个； ③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取 4 个，从二级品中随机抽取 6 个，从三级 品中随机抽取 10 个． 对于上述问题，下面说法正确的是( ) A．不论采用哪一种抽样方法，这 100 个零件中每一个被抽到的概率都是 1 5 B．①②两种抽样方法，这 100 个零件中每一个被抽到的概率为 1 5 ，③并非如此 C．①③两种抽样方法，这 100 个零件中每一个被抽到的概率为 1 5 ，②并非如此 D．采用不同的抽样方法，这 100 个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的 3．两个圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0 与 C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的公切线有且仅有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 4．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 和圆 x2＋y2－6x＝0 交于 A、B 两点，则 AB 的垂直平分线方程 为( ) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 5．有 2 个人从一座 10 层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每 一层离开是等可能的，则 2 个人在不同层离开的概率为( ) A． 1 9 B． 2 9 C． 4 9 D． 8 9 6．一个四面体的所有棱长为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A．3π B．4π C．3 3 π D．6π 7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥 的母 线与轴所成角正弦值为( ) A． 4 5 B． 3 5 C． 5 5 D． 2 5 5 8．已知圆 C：x2＋y2＝1，过点 P（0，2）作圆 C 的切线，交 x 轴正半轴于点 Q．若 M（m，n）为线段 PQ 上的动点（不含端点），则 3 1 m n  的最小值为( ) A． 2 3 B．1 3 C．3 3 D．3 9．如图，已知 ABC ， D 是 AB 的中点，沿直线CD 将 ACD 翻折 成 A CD ，所成二面角 A CD B  的平面角为 ( ) A． A DB   B． A DB   C． A CB   D． A CB   10．在平面直角坐标系中，定义 d（P，Q）＝|x1－x2|＋|y1－y2|为点 P（x1，y1）到点 Q（x2，y2）的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的轨迹是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的轨迹是一个圆； ③到 M（－1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是 x＝0； ④到 M（－1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之差的绝对值为 1 的点的轨迹是 两条平行线. 其中真命题有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．10＋ 5 B．10＋ 2 C．6＋2 2 ＋ 6 D．6＋ 2 ＋ 6 12．已知点  1,0A  ，  1,0B ，  0,1C ，直线  0y ax b a   将 ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( ) A． 0,1 B． 2 11 ,2 2      C． 2 11 ,2 3     D． 1 1,3 2     二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知平面区域 x≥0， y≥0， x＋2y－4≤0 恰好被圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 及其内部所覆盖，若 圆 C 的面积最小，则圆 C 的方程为________． 14．已知直线 l 过点(－1,0)，l 与圆 C：(x－1)2＋y2＝3 相交于 A、B 两点，则弦长|AB|≥2 的 概率为________． 15．在平面直角坐标系 xoy 中，直线 2y x   与圆 2 2 2 ( 0)x y r r   交于 A ，B 两点， O 为坐标原点，若圆上有一个C 满足 5 3 4 4OC OA OB      ，则 r  ． 16．点 D 是直角 ABC 斜边 AB 上一动点， 3AC  ， 2BC  ，将直角 ABC 沿着CD 翻折， 使 B DC 与 ADC 构成直二面角，则翻折后 AB的最小值是________． 三、解答题(本大题共 5 个大题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分 8 分)下表数据是退水温度 x(℃ )对黄硐延长性 y(%)效应的试验结果，y 是以 延长度计算的，且对于给定的 x，y 为正态变量，其方差与 x 无关. x(℃ ) 300 400 500 600 700 800 y(%) 40 50 55 60 67 70 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的回归直线方程． 18．(本题满分 9 分)如图所示，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，AA1＝3，点 E 在棱 B1B 上运动． (1)证明：AC⊥D1E； (2)当三棱锥 B1A1D1E 的体积为 2 3 时，求异面直线 AD，D1E 所成的角． 19．(本小题满分 10 分)已知方程 x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形 是圆． (1)求 t 的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点 P(3,4t2)恒在所给圆内，求 t 的取值范围． 20．(本小题满分 12 分)如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， 090ABD  ， EB ⊥平面 ABCD ，EF ∥ AB ， 2AB  ， 3EB  ， 1EF  ， 13BC  ，且 M 是 BD 的中点． （1）求证： EM ∥平面 ADF ； （2）求二面角 D AF B  的大小； （3）在线段 EB 上是否存在一点G ，使得 CG 与 AF 所成的角为 030 ？若存在， 求出 BG 的长度；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 1C ：   2 24 5 4x y    和 圆 2C ：   2 23 1 4x y    ． （1）若直线 1l 过点  2,0A ，且与圆 1C 相切，求直线 1l 的方程； （2）若直线 2l 过点  4,0B ，且被圆 2C 截得的弦长为 2 3 ，求直线 2l 的方程； （3）直线 3l 的方程是 5 2x  ，证明：直线 3l 上存在点 P ，满足过 P 的无穷多对互 相垂直的直线 4l 和 5l ，它们分别与圆 1C 和圆 2C 相交，且直线 4l 被圆 1C 截得的弦长与 直线 5l 被圆 2C 截得的弦长相等． 高二上学期期中考试数学试卷答案 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B C D A C A B C C B 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分，把正确答案填在题中横线上) 13．[答案] (x－2)2＋(y－1)2＝5 [解析] 由题易知，此平面区域表示的是以 O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形 及其内部，能覆盖它且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故外接圆的圆 心为斜边 PQ 的中点(2，1)，半径为|PQ| 2 ＝ 5，所以圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 14．[答案] 3 3 [解析] 设直线方程为 y＝k(x＋1)，代入(x－1)2＋y2＝3 中得，(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2 －1＝0，∵l 与⊙C 相交于 A、B 两点，∴Δ＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－2)>0，∴k2<3，∴－ 30.∴－1 7