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- 2021-04-19 发布
2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试
数学（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数的虚部为（ ）
A．-4 B． C． D．3
2.已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
3.若满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A．2 B．1 C. -2 D．-1
4.为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布.试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）
A． B． C． D．
参考数据：若，则，，.
5.一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，
侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C. D．2
6.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？（注）（ ）
A．125.77 B．864 C．123.23 D．369.69
7.在中，是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8.执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的（ ）
A．7 B．20 C.22 D．54
9．若，则=（ ）
A． B． C． D．
10.椭圆：的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.在中，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知、是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，满足，|，，则| ．
14．已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是 ．
15.在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为 ．
16．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为 .
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；17～21每题12分，选做题10分，共70分）
17．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及对称中心；
（Ⅱ）设的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求，的值.
18.（本小题满分12分）
1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
（Ⅰ）能否据此判断有97. 5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
（III）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.
附表及公式
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，，求平面与平面所成二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在
轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数.若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.
21．函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于，两点，求的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
已知定义在上的函数的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，为正实数，且，求证：．
2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试
数学（理科）答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
选项
A
A
B
A
C
C
题号
7
8
9
10
11
12
选项
C
B
B
D
B
D
二． 填空题
13.2 14. 15. 16.
17．解：（Ⅰ）
，
所以最小正周期；由，
得对称轴中心为
（Ⅱ）由得
，
，由正弦定理得，①
由余弦定理，②
由①②解得
18．（本小题满分12分）解:（1）由表中数据得的观测值
所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关. …………3分
（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为
，如图所示
设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为
由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为
…………7分
（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种.
可能取值为0,1,2，，，
的分布列为
0
1
2
所以． …………12分
19．（Ⅰ）证明：如图3，连接，，连接，
四棱锥的底面为菱形，
为中点，又是中点，
在中，是中位线，，
又平面，而平面，平面．
（Ⅱ）解：如图，取的中点，连接，，
为菱形，且，为正三角形，．
设，，，且为等腰直角三角形，即，
，
平面，且，
，，
如图，建立空间直角坐标系，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，
则，，，，，，，
，，，，
设为平面的一个法向量，
则即
可取．
设为平面的一个法向量，
则即
可取．
于是． 所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
20.解：（1）设，，，
由于，所以，
即，所以，
又，所以，从而.
即曲线的方程为：.
（2）由题意设直线的方程为：，，，
由得：，
所以.
故，
，
假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则
.
当，且时，为常数，解得.
显然当时，常数为；当时，常数为，
所以存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为.
21．解：（Ⅰ）．
① 当a≤0时，，则在上单调递减；
② 当时，由解得，由解得．
即在上单调递减；在上单调递增；
综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，
则．
要证≥，即证≥，即+≥0，
即证≥
构造函数，则，
由解得，由解得，
即在上单调递减；在上单调递增；
∴ ，
即≥0成立．
从而≥成立．
22．【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）由曲线的极坐标方程为，得，
所以曲线的直角坐标方程是．
由直线的参数方程为（t为参数），得直线的普通方程．
（Ⅱ）由直线的参数方程为（t为参数），得（t为参数），
代入，得，
设两点对应的参数分别为，
则，
所以，
因为原点到直线的距离，
所以．
23.解：（1）因为，当且仅当
时，等号成立，
所以的最小值等于3，即．
（2）由（1）知，又因为，，是正数，
∴，
即．