云南省云天化中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理科）试题 10页

云天化中学2019—2020学年度下学期入学考试 高二年级数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题:（每小题分，共分．每小题只有一个选项符合题意．）‎ ‎1.在复平面内，复数对应的点到直线的距离是（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数得出对应点，根据点到直线距离公式即可求解.‎ ‎【详解】,所以复数对应的点为(1，1)，‎ 点(1，1)到直线y＝x＋1的距离为＝.‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】此题考查复数的基本运算，根据复数的几何意义得其在平面内对应点，根据点到平面距离公式求解.‎ ‎2.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）‎ A. 方程没有实根 B. 方程至多有一个实根 C. 方程至多有两个实根 D. 方程恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程 没有实根．‎ 详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根．”‎ 点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：‎ 结论词 没有 至少有一个 至多一个 不大于 不等于 不存在 反设词 有 一个也没有 至少两个 大于 等于 存在 ‎3.中，内角所对边分别为.若则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件进行化简，结合三角形的面积公式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由，整理得，‎ 即，‎ 又因为，由余弦定理可得，解得，‎ 所以三角形的面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形的余弦定理的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎4.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　‎ A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎4项工作分成3组,可得：=6，‎ 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 可得：种．‎ 故选D.‎ ‎5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）‎ A 56 B. ‎60 ‎C. 140 D. 120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.‎ 考点：频率分布直方图及其应用．‎ ‎6.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，‎ 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，‎ 整理可得，即即，‎ 从而，则椭圆的离心率，‎ 故选A.‎ ‎【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：（每小题分，共分．）‎ ‎7.观察下列等式 照此规律，第个等式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据式子的开始项和中间一项及右边结果的特点得出.‎ ‎【详解】根据题意，由于观察下列等式 照此规律，等式左边的第一个数就是第几行的行数，且相加的连续自然数的个数是中间数字，右边是最中间数字的平方，故第个等式为.‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理，属于中档题．‎ ‎8.（2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，‎ 数列的前n项和，‎ 裂项可得，‎ 所以．‎ 点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．‎ ‎9.已知复数（i是虚数单位），则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数，根据模长公式求解.‎ ‎【详解】，所以．‎ 故答案：‎ ‎【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据模长公式计算模长.‎ ‎10.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从人中任选人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，‎ 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.‎ ‎【点睛】‎ 该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.‎ 三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第题分，每题分，每题分共分．)‎ ‎11.在数列的前项和为，，满足（≥2）．‎ ‎（Ⅰ）求，，并猜想表达式；‎ ‎（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【答案】（Ⅰ），，，（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用，化简整理得（≥2），依次代入数据，即可求解．‎ ‎（Ⅱ）根据数学归纳法步骤证明即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，得（≥2）．‎ ‎∵　，　∴　，‎ ‎，，‎ 猜想：．　　　　　　　　　　　‎ ‎（Ⅱ）证明：① 当时，左边＝，右边＝，猜想成立．‎ ‎② 假设当（）时猜想成立，即，‎ 那么，，‎ 即当时猜想也成立．　‎ 根据①②，可知猜想对任何都成立．‎ ‎【点睛】本题考查数列中和的关系，利用数学归纳法证明猜想的公式，考查计算化简，推理证明的能力，属基础题．‎ ‎12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎【答案】救援船到达D点需要1小时．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 海里 又海里 中，由余弦定理得,‎ 海里，则需要的时间 答：救援船到达D点需要1小时 ‎13.如图，在四棱锥中，平面平面，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依题意，易证平面，于是可得，又，从而平面；（2）作，与交于点，过点作，与交于点，连接，由（1）知，则，所以是二面角的平面角，可在三角形中，利用解三角形的知识，即可求解的大小．‎ 试题解析：（1）证明：在直角梯形中，由得 ‎，由得，即．‎ 又平面平面，从而平面，‎ 所以，又，从而平面．‎ ‎（2）解：作，与交于点，过点作，‎ 与交于点，连接，‎ 由（1）知，则．‎ 所以是二面角平面角．‎ 在直角梯形中，由，得，‎ 又平面平面，得平面，从而，‎ 由于平面，得．‎ 在中，由，得．‎ 在中，由，得 在中，由，得，从而．‎ 在中，利用余弦定理分别可得．‎ 在中，．‎ 所以，，即二面角的大小是．‎ 考点：直线与平面垂直的而判定与证明；二面角的求解．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了空间点、线、面的位置关系的判定与证明及二面角的求解等基础知识，着重考查了学生的空间想象能力和推理与论证能力，其中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答问题的关键，属于中档试题，本题第二问的解答中，找到是二面角的平面角是解答的一个重点和难点．‎ ‎ ‎