- 836.55 KB
- 2021-04-19 发布
一、选择题
1．【山东省济南外国语学校2017-2018学年高二10月月考】已知数列的前项和为，，则（ ）
A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024
【答案】B
【解析】因为，所以，即是以2为公比的等比数列，所以，故选B.
二、填空题
2．【辽宁省本溪市第一中学2017-2018学年高二第一次月考】已知数列中，且，则=__________
【答案】
3．【陕西省西安电子科技中学2017-2018学年高二第一次月考】数列的前项和为，则它的通项公式为________.
【答案】
【解析】由数列的前项和为，当时， ，当时， ，当时上式不成立， ，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.
4．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的前n项和，则该数列的通项公式是___________
【答案】
点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
5．【湖南省长郡中学2017-2018学年高二上学期一模】设数列的前项和为，且为等差数列，则的通项公式__________．
【答案】
【解析】设cn= ，
∵数列的前n项和为，且=1，∴c1=4，c2=8，
∴cn=c1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，
即cn= =4n
当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1+（1+）an﹣（1+）an﹣1=0
∴，即2•，
∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，
∴．
6．【江西省宜春中学2018届高三上学期第一次诊断考】设Sn是数列{an}的前n项和，且， ，则________．
【答案】
7．【黑龙江哈尔滨市第十九中学2016-2017学年高一下学期期中】己知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1,则an=______.
【答案】an=
【解析】∵Sn=2n+1-1,
当n=1时,a1=S1=3,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,
显然,n=1时a1=3≠2,不符合n≥2的关系式. an=
答案为an=．
点睛：已知前N项和和通项的关系，求通项，注意检验n=1时，通项是否成立；
三、解答题
8．【山东省济南外国语学校2017-2018学年高二10月月考】设数列的前项和为，已知
.
（1）设，证明数列是等比数列（要指出首项、公比）；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析：（1）利用的求解方法可将转化为数列的递推公式，进而可得到，说明数列是等比数列；（2）由数列是等比数列求得，从而确定，数列求和时采用错位相减法求和.
（2）由（1）知，从而
两式相减得：
9．【江西省崇仁县第二中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的首项，前项和为．
（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和．
【答案】(1) （2）
【解析】试题分析：
(1)由数列的递推公式可得数列是首项为1,，公比为3的等比数列，则其通项公式为；
(2)结合(1)中求得的通项公式可得： ，分组求和可得数列的前n项和为 .
（2），
所以，
10．【广东省广州2017届高三下学期一模】已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式．
（Ⅱ）求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系将条件转化为项之间递推关系： ，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式．（2）先求，再根据分组求和法求数列的前项和．
试题解析：（Ⅰ）当时， ，即，解得．
当时， ，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以．
点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
11．【浙江省余杭二高2017年9月高二教学质量检测】为数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：
（1）已知通项与前项和的关系式，用代得另一式子，两式相减得的递推式，本题可得是等差数列，从而易得通项；（2），因此数列的前项和可用裂项相消法求得．
【点睛】一般数列是等差数列， 是等比数列，则新数列的前项和可用裂项相消法求解，数列的前项和可用错位相减法求解，这是两种重要的数列求和方法．
12．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二第一次月考】已知数列的前项和为且 .
（1）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（2）存在正整数
【解析】试题分析：（1）利用 可得可证为等比数列，则通项公式可求；
（2）由（1）代入得 ，
则通过计算得
，则 ，
则 ，
计算可得
，
13．【甘肃省武威市第六中学2018届高三上学期第二次阶段性过关考试】若数列的前项和满足 .
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析：
(1)由已知数列递推式求得首项，且当时，有，结合原式作差得到，即 ，从而证得为等比数列。
(2)求出，再通过裂项相消法求数列的前项和。
试题解析：
证明：当时， ，计算得出，
当时，根据题意得， ，
所以 ，即
，即
数列是首项为-2，公比为2的等比数列
由（1）知，
，
则
14．【河北省邯郸市成安县第一中学2017-2018学年高二9月月考】已知为数列的前项和，且有
， （）．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求其前项和为．
【答案】（1）（2）
两式相减得， ，
又，
所以是首项为,公比为2的等比数列，
所以．
点睛：题目给出与的关系时，利用
进行处理，注意检验n=1的时候是否成立.
15．【浙江省源清中学2017年9月高三上学期第一次月考】已知正数数列的前项和为，满足， .
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由，可得．两式相减可得，再由，可得的通项公式．
（2）根据{的通项公式化简bn和bn+1，由题意可得恒成立，故恒成立，而1-2n的最大值为-1，从而求得实数a的取值范围．
试题解析：
（1）因为，所以，两式相减得：
，化简得： ，可以得出为等差数列，又，
所以.
（2）设，则 ，
同理，
因为恒成立，所以
，
所以.
16．【黑龙江哈尔滨市第十九中学2016-2017学年高一下学期期中】已知数列的前项和为,且有, ,
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
（2）由已知得, ，
，
两式相减,得
所以得到．
17．【重庆市第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知数列的首项，前项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由an+1=2Sn+1，得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1=3an（n≥2），a2=2S1+1=2a1+1=3，满足．利用等比数列的通项公式即可得出an．
（2），所以，
错位相减可得：
点睛：已知前N项和与通项的关系，求通项；差比数列求和。错位相减；
18．【山东省淄博市第一中学2016-2017学年高二下学期学习质量检测】数列的前n项和为，已知成等比数列.
(I)求数列的通项公式;
(II)若数列满足,求数列的前n项和.
【答案】(1) 2n−1；（2）Tn=6+(2n−3)×．
【解析】试题分析：（1）已知 和 的关系，再写一项做差， ，（2）由=，得到bn=(2n−1) =，再由错位相减，的结果．
(II)∵数列{}满足=，
∴bn=(2n−1) =.
∴数列{bn}的前n项和Tn=2+3×+5×+…+，
∴2Tn=22+3×+…+(2n−3)×+(2n−1)×，
∴Tn=6+(2n−3)×.
19．【山西省芮城中学2016-2017学年高一下学期期末】已知数列的前项和为,且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）首先 当时， ，然后当时， ，在验证当代入仍然适合；（2），再由列相消法求得
.
（2）
20．【河北省曲周县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的前项和，数列满足.
（1）求， ；
（2）设为数列的前项和，求.
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】试题分析：
(1)由前n项和与通项公式的关系可得，结合数列的通项公式可得数列的通项公式为；
(2)错位相减可得数列的前项和.
（2），
∴，
∴ ，
∴.
21．【四川省南充市2018届高三高考适应性考试】已知数列前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用与的关系求数列的通项公式；（2）由题意易得：，显然问题转化为等比数列的前项和问题.
（2）记数列的前项和为，
由（1）知，
所以.
22．【广东省广州市海珠区2018届高三综合测试】已知数列的首项，前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析: （1）由，得（n≥2），两式相减得（n≥2），,利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知，故=log33n=n，可得,利用分组求和得结果.
试题解析:
（1）由题意得
两式相减得，
所以当时， 是以为公比的等比数列.
因为
所以， ，对任意正整数成立， 是首项为，公比为的等比数列，
所以得.
点睛：已知与的关系，再写一项得出为等比数列，求和用到了分组求和，此外还有错位相减，裂项相消，并项求和，倒序相加等方法