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- 2021-04-19 发布
2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B= ．
2．（4分）不等式＜1的解集为 ．
3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）= ．
4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为 ．
5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|= ．
6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是 ．
7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为 ．
8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是 ．
9．（5分）已知等比数列前n项和为Sn，则使得Sn＞2018的n的最小值为 ．
10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为 ．
11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为 ．
12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为 ．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（ ）小时．
A．22 B．23 C．24 D．33
16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（ ）
A．1 B．2 C． D．2π2
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．
（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；
（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．
18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．
（1）求C；
（2）若c2=7b2，且，求b的值．
19．（14分）已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p∈R）．
（1）求p的值及{an}的通项公式；
（2）在等比数列{bn}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．
21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．
（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；
（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；
（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx（D）⊊D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，Dn⊊Dn﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．
2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B= {1，3} ．
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，
∴A∩B={1，3}．
故答案为：{1，3}．
2．（4分）不等式＜1的解集为 （1，+∞）∪（﹣∞，0） ．
【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，
所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；
故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）
3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）= 3 ．
【解答】解：令f﹣1（5）=a，
则f（a）=2a﹣1=5，
解得：a=3，
故答案为：3．
4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为 ﹣1 ．
【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===﹣1．
故答案为：﹣1
5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|= ．
【解答】解：∵复数z满足，
∴z=，
化为4z=，
即z=，
∴|z|==．
故答案为：．
6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是 80 ．
【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）5﹣r，
今r=2，
∴T3=23C52x3=80x3．
∴x3的系数是80．
故答案为：80
7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为 ．
【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，
现从中抽取4个产品，
基本事件总数n==495，
其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，
∴其中恰好有1个二等品的概率为p===．
故答案为：．
8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是 [﹣5，3] ．
【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，
可得f（x）=f（|x|），
则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），
可得|a+1|≤4，
即﹣4≤a+1≤4，
解得﹣5≤a≤3，
则实数a的取值范围是[﹣5，3]．
故答案为：[﹣5，3]．
9．（5分）已知等比数列前n项和为Sn，则使得Sn＞2018的n的最小值为 10 ．
【解答】解：根据题意，等比数列为{an}，
其首项a1=，公比q==3，
其前n项和Sn==（3n﹣1），
若Sn＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*，
则n≥10，
故答案为：10．
10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为 36π ．
【解答】解：设此圆锥的母线长为l，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2π×3=×l，
解得l=9，
∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．
故答案为：36π．
11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为 π ．
【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（ωx+）
=cosωx的图象，
令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），
如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，
∴•≤1，∴ω≥π，则ω的最小值为π，
故答案为：π．
12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为 2 ．
【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ），
∵直线OM与ON的斜率之积为2，
∴•=2，
所以2x1x2﹣y1y2=0，①，
∵动点P满足，
∴（x，y）=（2x1﹣x2，2y1﹣y2 ），
则x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，
∵M、N是双曲线上的点，∴2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4．
∴2x2﹣y2=2（2x1﹣x2）2﹣（2y1﹣y2）2
=4（2x12﹣y12 ）﹣（2x22﹣y22 ）﹣4（2x1x2﹣y1y2 ）
=4×4﹣4﹣4（2x1x2﹣y1y2 ）=12﹣4（2x1x2﹣y1y2 ），
把①代入上式得：2x2﹣y2=12，
即﹣=1，
所以点P是双曲线﹣=1上的点，
因为即﹣=1的两个焦点为：F1（﹣3，0）、F2（3，0），
所以||PF1|﹣|PF2||为定值2．
故答案为：2．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，
由乙可推出甲，是必要条件，
故选：B．
14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，
以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B（1，0），C（0，1）
设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，
∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），
∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，
故的最小值为﹣2，
故选：B．
15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（ ）小时．
A．22 B．23 C．24 D．33
【解答】
解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），
该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，
∴，解得e11k=，
∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×eb=（）3×192=24（小时）．
故选：C．
16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（ ）
A．1 B．2 C． D．2π2
【解答】解：令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，
可得f（﹣x）=（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a=f（x），
则f（x）为偶函数，
∵f（x）=0有三个实数根，
∴f（0）=0，即0++a=0，故有a=﹣，
关于x的方程即x2+arcsin（cosx）﹣=0，
∴x2 =0，
且+arcsin（cosx1）﹣=0，
x32+arcsin（cosx3）﹣=0，
x1=﹣x3，
由y=x2和y=﹣arcsin（cosx），
当x＞0，且0＜x＜π时，
y=﹣arcsin（cosx）=﹣arcsin（sin（﹣x））=﹣（﹣x））=x，
则﹣π＜x＜0时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣x，
由y=x2和y=﹣arcsin（cosx）的图象可得：
它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），
则x12+x22+x32=0+1+1=2．
故选：B．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．
（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；
（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．
【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1，
∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．（2分）
∵AB=2，AD=1，A1A=1．
∴在等腰△ACD1中，
∴cos∠CD1A===，…（4分）
∴异面直线BC1与CD1所成的角．…（1分）
（2）…（4分）
=
=．…（3分）
18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．
（1）求C；
（2）若c2=7b2，且，求b的值．
【解答】解：（1）由，
∴2ccosC+acosB+bcosA=0，
由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0，
∴2sinCcosC+sin（A+B）=0；
2sinCcosC+sinC=0；
由sinC≠0，
∴，
∴；
（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴7b2=a2+b2﹣2abcosC，
∴a2+ab﹣6b2=0，
∴a=2b；
由知，
，
∴，
∴b=2．
19．（14分）已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p∈R）．
（1）求p的值及{an}的通项公式；
（2）在等比数列{bn}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，
当n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1=pn2+2n﹣[p（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2pn﹣p+2，
则an+1=2p（n+1）﹣p+2，
∴an+1﹣an=2p=2，
∴p=1，
an=3+（n﹣1）2=2n+1，
（2）∵b2=a1=3，b3=a2+4=9，
∴q=3，，
当n=2k，k∈N*时，
Tn=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=（3+7+…+4k﹣1）+（3+27+…+32k﹣1）
==；
当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1是偶数，
=，
∴．
20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．
【解答】（1）解：由，得，∴…①
又△AF1F2周长为，∴…②
联立①②，解得．
∴椭圆方程为；
（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2）
由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．
，
，
依题：kAB+kAC=﹣1，即：，
∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，
∴，得，则m=﹣2k﹣1．
∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；
（3）解：lAE：x+y﹣1=0，．
设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，
由，得．
由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=．
得两切线到lAE：x+y﹣1=0的距离分别为，
∴，．
当时，△AEP个数为0个；
当时，△AEP个数为1个；
当时，△AEP个数为2个；
当时，△AEP个数为3个；
当时，△AEP个数为4个．
21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．
（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；
（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；
（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠
f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx（D）⊊D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，Dn⊊Dn﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．
【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），
所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分）
t=x+1∈（1，2），
g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分）
（2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D．
函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D），
得到：D=f（D）．…（2分）在D=[a，b]单调递增．
则f（a）=a，f（b）=b在[﹣1，+∞）两不等实根．
，
故，解得．
另解：在[﹣1，+∞）两不等实根．
令k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，
故
解得．
（3）如果f（D）=D，则fn（D）=D，与题干矛盾．
因此f（D）⊊D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1⊊D．
接下来证明f（D1）⊊D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D{D1，
则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）∉f（D1）．
考虑到p∈DD1，即，
因为f（x）是单射，则f（D1）⊊f（D{p}）=f（D）{f（p）}=D1{f（p）}⊊D1
这样就有了f（D1）⊊D1．
接着令Dn+1=f（Dn），并重复上述论证证明Dn+1⊊Dn．