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- 2021-04-19 发布
【高频考点解读】
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。
【热点题型】
热点题型一 判断函数零点所在的区间
例1、(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)
(2)设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】（1）C （2）D
法二 令f(x)＝0得x＝ln x。
作出函数y＝x和y＝ln x的图象，
如图，显然y＝f(x)在内无零点，
在(1，e)内有零点，故选D。
【提分秘籍】确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上。
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0。若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点。
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。
【举一反三】
函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是( )
A. B. C．(1,2) D．(2,3)
【答案】C
热点题型二 判断函数零点的个数
例2、函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点即2x|log0.5x|－1＝0的解，即|log0.5x|＝x的解，作出函数g(x)＝|log0.5x|和函数h(x)＝x的图象，由图象可知，两函数图象共有两个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点，故选B。
【提分秘籍】 判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。
【举一反三】
函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】D
热点题型三 函数零点的应用
例3．【2017江苏，20】 已知函数有极值,且导函数的极值点是
的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：;
（3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.
【答案】（1），定义域为.（2）见解析（3）.
【解析】
x
+
0
–
0
+
极大值
极小值
故的极值点是.
从而，
因此，定义域为.
（2）由（1）知， .
【提分秘籍】函数零点的应用问题类型及解题思路
(1)已知函数零点情况求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：
①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围。
(2)已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法。
(3)借助函数零点比较大小。要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小。
【举一反三】
已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
【答案】C
【高考风向标】
【2017江苏，20】 已知函数有极值,且导函数的极值点是
的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：;
（3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.
【答案】（1），定义域为.（2）见解析（3）.
【解析】
（1）由，得.
当时， 有极小值.
因为的极值点是的零点.
所以，又，故.
因为有极值，故有实根，从而，即.
时， ，故在R上是增函数， 没有极值；
时， 有两个相异的实根， .
列表如下
x
+
0
–
0
+
极大值
极小值
故的极值点是.
【2016高考山东文数】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.
【答案】
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得
【2016高考天津文数】已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由函数在R上单调递减得，又方程
恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.
【2016高考上海文科】
已知R，函数=.
（1）当 时，解不等式>1；
（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；
（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）或．（3）．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，
所以时，有最小值，由，得．
故的取值范围为．
【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 .
【答案】
【解析】在同一直角坐标系内，作出的大致图像，如下图：
由题意，可知
【2015高考湖北，文13】函数的零点个数为_________.
【答案】2.
【2015高考湖南，文14】若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【2015高考山东，文10】设函数，若，则 ( )
（A） （B） （C） (D)
【答案】D
【解析】由题意，由得，或，解得，故选D.
（2014·北京卷）已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
【答案】C
【解析】方法一：对于函数f(x)＝－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.
方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝与g(x)＝log2x的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)．
（2014·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )
A．c≤3 B．3＜c≤6
C．6＜c≤9 D．c＞9
【答案】C
（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在 (－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
【答案】A
（2014·福建卷）函数f(x)＝的零点个数是________．
【答案】2
【解析】当x≤0时，f(x)＝x2－2，
令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－，
即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．
当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x，
令2x－6＋ln x＝0，得ln x＝6－2x.
作出函数y＝ln x与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图像，
则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋ln x(x>0)只有一个零点．
综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.
（2014·湖北卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
【答案】D
【解析】设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x .
求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．
当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；
当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－.故选D.
（2014·江苏卷）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
【答案】.
（2014·江西卷）已知函数f(x)＝(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为f(－1)＝21＝2，f(2)＝a·22＝4a＝1，所以a＝.
（2014·浙江卷）设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.
【答案】
【解析】令t＝f(a)，若f(t)＝2，则t2＋2t＋2＝2 满足条件，此时t＝0或t＝－2，所以f(a)＝0或f(a)＝－2，只有－a2＝－2满足条件，故a＝.
（2014·全国卷）函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．
【解析】解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．
(i)若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1时成立．故此时f(x)在R上是增函数．
(ii)由于a≠0，故当a＜1时，f′(x)＝0有两个根；
x1＝，x2＝.
若0＜a＜1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)
（2014·天津卷）已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】(1，2)
【解析】在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像相切时，联立整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有10)的解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
3．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则( )
A．a0，
∴01，故选A.
4．已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
5．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，00，则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为( )
A．2 B．4
C．5 D．8
【答案】B
【解析】∵f(x)是最小正周期为2π的偶函数，∴f(x＋2π)＝f(x)＝f(－x)，∴y＝f(x)的图象关于y轴和直线x＝π对称，∵00，∴00，又∵0≤x≤π时，01，则需h(5)＝loga5<1，即a>5.
若00
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
【答案】B
【解析】设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.
11．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为________．
【答案】7
12．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.根据零点存在性定理可得f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得0时，分两种情况：①当x>1时，log2x>0，y＝f[f(x)]－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，令log2(log2x)－1＝0，即log2(log2x)＝1，log2x＝2，解得x＝4；②当00，则g(t)＝t2＋mt＋1＝0仅有一正根，而g(0)＝1>0，
故
∴m＝－2.
∴m＝－2，零点是x＝0.
方法2：令2x＝t，则t>0.
原函数的零点，即方程t2＋mt＋1＝0的根．
∴t2＋1＝－mt，∴－m＝＝t＋(t>0)．
有一个零点，即方程只有一根．
∵t＋≥2(当且仅当t＝即t＝1时等号成立)，
∴－m＝2即m＝－2时，只有一根．
∴m＝－2，零点是x＝0
16．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.
(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程．
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．
依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，
∵Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实数根，从而f(x)＝1必有实数根．