2017-2018学年福建省福州市长乐高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版 9页

长乐高级中学2017-2018学年第一学期期末考 ‎ 高二数学(理科)试卷 命题人： 审核人：‎ 命题内容： 《选修2-1》‎ 班级 姓名 座号 成绩 ‎ 说明：1、本试卷分第I、II 两卷，考试时间：120分钟 满分：150分 ‎2、Ⅰ卷的答案用2B铅笔填涂到答题卡上；Ⅱ卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，每小题只有一个答案符合题意）‎ ‎1.已知命题，则，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．命题的逆命题是：若，则 B．命题的否命题是：若，则 C．命题的否命题是：若，则 D．命题的逆否命题是真命题 ‎2.已知命题的否定是，命题双曲线 的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（　　）‎ A. ‎－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6‎ ‎4．已知点A（3，0），B（﹣3，0），|AC|﹣|BC|=4，则点C轨迹方程是（　　）‎ A．﹣=1（x＜0） B．﹣=1‎ C．﹣=1（x＞0） D．﹣=0（x＜0）‎ ‎5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为（ ）‎ A．- B． C．-2 D．2‎ ‎6．已知，，且，则x的值是（ ）‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎7.如图，长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角是(　　 )‎ A. B. ‎ C. D. ‎8．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c, 点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于(　　)‎ A.a－b＋c B．－ a＋b＋c C.a＋ b－c D.a＋b－c ‎9．曲线与曲线的（ ）‎ A . 长轴长相等 B . 短轴长相等 C.离心率相等 D. 焦距相等 ‎10.直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点，如果x1 + x2 = 6，那么等于 ( )‎ A.10 B‎.8 C.7 D.6‎ ‎11．若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( )‎ A.(3，3) B.(2，2) C.(，1) D.(0，0)‎ ‎12．设F1，F2分别为双曲线 －＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F‎1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为(　 )‎ A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝‎0 C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13．若“x∈R，使x2﹣2x+m=‎0”‎为真命题，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎14．双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为　　　　　．‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为　　　　．‎ ‎16、给出下列命题：‎ ‎①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；‎ ‎②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.‎ 其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ 三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分）‎ 17． ‎(10分)已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．‎ ‎（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y=2上，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）若|AB|=20，求直线l的方程．‎ ‎20. （12分）设p:实数x满足,其中,命题实数满足.‎ ‎(Ⅰ)若且为真，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎21.（12分）如图，在直三棱柱中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．‎ ‎(Ⅰ)求证：A1B//平面AEC1；‎ ‎(Ⅱ)在棱AA1上存在一点M，满足，求平面MEC1与平面ABB‎1A1所成锐二面角的余弦值。‎ ‎22．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．‎ 长乐高级中学2017-2018学年第一学期期末考 ‎ 高二数学(理科)参考答案 一、DADA AADB DBBC 二、13.m≤1 14. 15. 20.①④‎ 三、17.解：若（m+2）x2+my2=1表示双曲线，‎ 则m（m+2）＜0，解得：﹣2＜m＜0，‎ 故p：（﹣2，0），‎ 若方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，‎ 则m2﹣1＜0，解得：﹣1＜m＜1，‎ 故q：（﹣1，1），‎ 若p∨q为真命题，p∧q为假命题，‎ 则p，q一真一假，‎ 故或，‎ 故m∈（﹣2，﹣1]∪[0，1）．‎ ‎18.【解答】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．‎ 则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…‎ ‎∴，‎ ‎∴COS＜＞==﹣ ‎ 所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…‎ ‎（2）设平面ABC的法向量为则 知 知取，…‎ 则…‎ 故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…‎ ‎19.【解答】解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，，．‎ 由，，可得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），‎ ‎∴4kl=4，解得kl=1．‎ 由y2=4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y=x﹣1．‎ ‎（II）设直线l的方程为y=k（x﹣1），联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2=0，‎ ‎∴．‎ ‎∵|AB|=x1+x2+p=，解得k=．‎ ‎∴直线l的方程为．‎ ‎20. 解: 由得，‎ 又,所以, ‎ 当时，1<,即为真时实数的取值范围是1<. ‎ 由,得,即为真时实数的取值范围是. ‎ 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是. ‎ ‎(Ⅱ) 是的充分不必要条件，即,且, ‎ 设A=,B=,则,‎ 又A==, B==}，‎ 则0<,且所以实数的取值范围是.‎ ‎21. （Ⅰ）证明：连接交 于O，连接EO.‎ 因为为正方形，‎ 所以O为的中点，‎ 而E为CB的中点，‎ 所以EO为△的中位线，‎ 则 ，‎ 又平面 ,平面 ‎ ‎,平面 .‎ ‎(Ⅱ)解：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则 ,‎ 设 ，‎ 所以  ,‎ ‎，‎ ‎  ,‎ 设平面MEC1的法向量为，则 ‎ ，‎ 取 ，‎ ‎ ∵AC⊥平面ABB‎1A1,取平面ABB‎1A1 的法向量 ,‎ ‎ ，‎ 平面MEC1与平面ABB‎1A1所成锐二面角的余弦值 .‎ ‎22.【解答】（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）解：由，‎ 得． ①‎ 由椭圆C经过点，得． ②…‎ 联立①②，解得 b=1，． … ‎ 所以椭圆C的方程是． …‎ ‎（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．‎ 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，‎ 消去y得 （1+3k2）x2+12kx+9=0．…‎ 令△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，． …‎ 所以． …‎ 因为，‎ 设 k2﹣1=t（t＞0），‎ 则． …‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 此时△AOB面积取得最大值．…‎