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- 2021-04-17 发布
北京市陈经纶中学期中考试
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，由此确定正确选项.
【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，故D选项错误，A选项正确.
故选：A
【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题.
2.．设是不同的直线，是不同的平面,下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 若,则 B. 若则
C. 若则 D. 若则
【答案】B
【解析】
A错误．平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面；
B正确．垂直于同一平面的两条直线平行；
C错误．两平面垂直，一个平面内的直线可能平行另一个平面，也可能相交；
D错误．只有m与n相交时，才有两个平面平行．
3.阅读下列各式，其中正确的是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据向量数量积的运算律对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，当与和都垂直时，满足，但不一定有，所以A选项错误.
对于B选项，当与垂直时，，所以不能推出，所以B选项错误.
对于C选项，的方向与有关，的方向与有关，所以与不一定相等，故C选项错误.
对于D选项，，所以，故D选项正确.
故选：D
【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，属于基础题.
4.在各项都是正数的等比数列中，若，，成等差数列，则的值为（ ）
A. 9 B. 6 C. 3 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差中项的性质列方程，由此求得等比数列的公比，由此求得的值
【详解】由于，，成等差数列，所以，即，由于，所以，由于，所以，所以
.
故选：A
【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
5.数列中，，则数列前12项和等于（ ）
A. 76 B. 78 C. 80 D. 82
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，所以
，所以，所以从第一项开始，依次取个相邻奇数项的和都等于，从第二项开始，依次取个相邻偶数项的和构成以为首项，以为公差的等差数列，以上式子相加可得，
，故选B.
考点：数列的求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的求和公式、数列的递推关系式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，利用数列的结构特征和等差数列的求和公式是解得问题的关键.
6.已知数列的前项和为，则“为常数列”是“，”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】当“为常数列”时，数列，前项和.
当“，”时，当时，，当时，由得，两式相减得，化简得，由于，所以（），所以数列为常数列.
综上所述，“为常数列”是“，”的充分必要条件
故选：C
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查数列前项和与通项间的关系，属于基础题.
7.已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积不为零的是（ ）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．
【详解】作出草图：
根据题意，依次分析选项： 对于A，与不一定垂直，即向量 与，则向量
与的数量积不一定为0；
对于B，根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量 与 一定垂直，则向量 与 的数量积一定为0；
对于C，根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量与一定垂直，则向量 与 的数量积一定为0；
对于D，根据题意，有平面，则，即向量 与一定垂直，则向量与的数量积一定为0；故选：A．
【点睛】本题考查了空间向量的数量积的运算，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直，这是解题的关键．
8.椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
：由成等比数列得
即
【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题
9.正方形边长为1，点在正方形外，且，则最大值是（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，设，代入求得关系式，再求得的最大值.
【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，设，其中或；或.
.
由得，即，也即，，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆的左半部分，由此可知.
，由于，所以，所以的最大值是.
故选：A
【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
10.已知两平行平面与间距离为4，直线，点，则平面内到点的距离为5，且到直线的距离为的点的轨迹是（ ）
A. 一组平行线 B. 两段线段 C. 两端圆弧 D. 四个点
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断出平面内到点的距离为5的点的轨迹是圆，在圆上假设点到直线的距离为，结合图像，判断出这样的点有四个，由此确定正确选项.
【详解】过作平面的垂线，交平面于，则.依题意两平行平面与间距离为4，直线，点，则平面内到点的距离为5的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.假设圆上点到直线的距离为.过作直线的平行线，且，过作交直线于，连接.由于，所以平面，所以平面，所以.依题意，而，所以，也即得到圆直径的距离为，由于圆的半径为，所以符合这个条件的点一共有个.
故选：D
【点睛】本小题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
11.命题“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是__________，该否命题的真假性是__________.（填“真”或“假”）
【答案】 (1). “若和不都是偶数，则不是偶数” (2). 假
【解析】
【分析】
根据否命题的知识写出原命题的否命题，并判断出真假性.
【详解】命题“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数，则不是偶数”.因为当都是奇数时，是偶数，所以该否命题是假命题.
故答案为：（1）“若和不都是偶数，则不是偶数”；（2）假
【点睛】本小题主要考查原命题的否命题的知识，属于基础题.
12.在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)．
【答案】
【解析】
因为在四面体中，为的中点，为的中点， ，故答案为.
13.已知数列的前项和为，且满足，则通项__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用，求得数列的通项公式.
【详解】当时，，所以；
当时，由，得，两式相减得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以
故答案为：
【点睛】本小题主要考查已知求，属于基础题.
14.如图，在长方体中，设，，则__________，__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量减法、模和数量积的坐标运算，求得所求的结果.
【详解】以为原点建立空间直角坐标系如下图所示，则
.
所以，所以
，.
故答案为：（1）；（2）
【点睛】本小题主要考查空间向量的减法、模和数量积的计算，属于基础题.
15.数列的前项和为，，则__________，数列中最大项的值为________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用可求得，然后利用基本不等式可求出数列中最大项的值.
【详解】当时，；
当时，.
适合，则对任意的，.
，当且仅当时，等号成立，
因此，数列中最大项的值为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用求，同时也考查了利用基本不等式求数列最大项，考查计算能力，属于中等题.
16.已知曲线的方程，给出下列个结论：
①曲线是以点和为焦点的椭圆的一部分；
②曲线关于轴、轴、坐标原点对称；
③若点在曲线上，则，；
④曲线围成的图形的面积是．
其中，所有正确结论的序号是__________．
【答案】②④
【解析】
【分析】
化简方程为，画出图像，结合图像逐个分析可判定正误．
【详解】①根据题意，方程，即，表示四条线段，其图形如图所示，故①错误；
②由图可知，曲线关于轴，轴，坐标原点对称，故②正确；
③若点在曲线上，则，，故③错误；
④曲线围成的面积，故④正确．
综上所述，正确结论的序号是②④．
填②④
【点睛】本题综合考查对曲线方程的分析能力，对学生迁移应用能力要求较强，需要数形结合思想，利用图形解题．
三、解答题：本大题共4个小题，共50分.
17.已知等比数列的前项和，且成等差数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，求满足的最大正整数．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大正整数为．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意得到等比数列的首相和公比的方程和，联立求得等比数列中的，的通项公式求得结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ
）得到的，进而求得，显然数列是等差数列，求得其前项和，解不等式，进而求得满足的最大正整数为．
【详解】（Ⅰ）设的公比为，因为成等差数列，
所以．
整理得，即，解得．
又，解得．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,
所以．
．
所以由，得，整理得，
解得．
故满足最大正整数为．
18. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）对于x轴上点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
【答案】（1）；（2）（﹣2，﹣1）．
【解析】
试题分析：（1）由两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），上顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，
最后由椭圆的焦点在X轴上求得方程．
（2）利用向量垂直即可求得M点的横坐标x0，从而解决问题．
解：（1）由题意得，c=1，a=2，则b=
故所求的椭圆标准方程为；
（2）设M（x0，y0）（x0≠±2），则①
又由P（t，0），H（2，0）．则，
由MP⊥MH可得，即（t﹣x0，﹣y0）•（2﹣x0，﹣y0）=
由①②消去y0，整理得②
∵x0≠2，∴
∵﹣2＜x0＜2，∴﹣2＜t＜﹣1
故实数t的取值范围为（﹣2，﹣1）．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、考查存在性问题，解题时要认真审题，仔细解答．
19.四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）为中点，在四边形所在的平面内是否存在一点，使得平面，若存在，求三角形的面积；若不存在，请说明理由.
【答案】（I）详见解析；（II）；（III）存在，理由见解析，三角形的面积为.
【解析】
【分析】
（I）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.
（II）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.
（III）先假设存在符合题意的，然后利用向量的数量积运算，求得点的坐标，由此证得点存在，并求得三角形的面积.
【详解】（I）由于平面，所以，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.
（II）由已知条件可知两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，则
,.依条件知是平面的一个法向量.设是平面的法向量，，由，令，得.设二面角的平面角为，则.
（III）假设存在点满足条件，设，则，，所以，解得，所以存在满足条件，此时.
【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的计算，考查探究性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20.已知数列的前项和为，且满足，，设，.
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若，，求实数的最小值；
（Ⅲ）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
【答案】（I）详见解析；（II）；（III）为指数型和.
【解析】
【分析】
（I）通过计算证明证得，来证得数列是等比数列.
（II）利用求得数列的通项公式，由，，求得的最小值.
（III）先求得的通项公式，对
分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数型和”.
【详解】（I），.由于，当时，，所以数列是等比数列.，.
（II）由（I）得，，所以.因为，.当时，
，，而，所以，即，化简得，由于当时，单调递减，最大值为，所以
，又，所以的最小值为.
（III）由（I）当时，，当时，.也符合上式，所以对正整数都有.由，（且），只能是不小于的奇数.
①当为偶数时，，由于和都是大于的正整数，所以存在正整数，使得，，所以，且，相应的，即有，为“指数型和”；
② 当为奇数时，，由于是
个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没“指数型和”.
综上所述，中的项存在“指数型和”，为.
【点睛】本小题主要考查已知求，考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.