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- 2021-04-17 发布
2016-2017 学年河北省邢台一中高二（上）第三次月考数学试卷
（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“m＞0，n＞0”是“方程 mx2+ny2=1”表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
2．方程 mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m
∈
R）表示的曲线不可能是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
3．有下列四个命题：
①“若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若 m≤1，则 x2﹣2x+m=0 有实数解”的逆否命题；
④“若 A∩B=B，则 A=B”的逆否命题．
其中真命题为（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①②③
4．设 a、b、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立
的是（ ）
A．c⊥α，若 c⊥β，则α∥β
B．b
⊂
β，c 是 a 在β内的射影，若 b⊥c，则 a⊥b
C．b
⊂
β，若 b⊥α则β⊥α
D．b
⊂
α，c
⊄
α，若 c∥α，则 b∥c
5．若双曲线 ﹣ =1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，
则该双曲线的虚轴长是（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知抛物线 C1：x2=2py（p＞0）的准线与抛物线 C2：x2=﹣2py（p＞0）交于 A，
B 两点，C1 的焦点为 F，若△FAB 的面积等于 1，则 C1 的方程是（ ）
A．x2=2y B．x2= y C．x2=y D．x2=
7．已知 F 是抛物线 y= x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则 PF 中点的轨迹方
程是（ ）
A．x2﹣4y+2=0 B．2x2﹣8y+1=0 C．x2﹣4y+4=0 D．2x2﹣8y+6=0
8．直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 只有一个公共点，则 k 的值为（ ）
A．1 B．0 C．1 或 0 D．1 或 3
9．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 恰好是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）
的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点 F，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．1+ D．1+
10．已知双曲线 ﹣ =1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径
长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为
2b，则双曲线的方程为（ ）
A． ﹣ =1B． ﹣ =1C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
11．己知直线 l1：4x﹣3y+6=0 和直线 l2：x=﹣1，抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线
l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左右焦点为 F1，F2，若椭圆 C 上恰好
有 6 个不同的点，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．抛物线 y=﹣2x2 的准线方程为 ．
14．设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2﹣2y2=1 有公共的焦点，且它们的离心率互
为倒数，则该椭圆的方程是 ．
15．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB=BC，
AC=2a，BB1=3a，D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF= 时，CF⊥平
面 B1DF．
16．直线 y=x+3 与曲线 =1 的公共点个数为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．设命题 p：
∃
x
∈
R，x2+2ax﹣a=0．命题 q：
∀
x
∈
R，ax2+4x+a≥﹣2x2+1．如果命
题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数 a 的取值范围．
18．中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线 C 过点 ，离
心率为 ．
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）过 C 的左顶点 A 引 C 的一条渐近线的平行线 l，求直线 l 与另一条渐近线及
x 轴围成的三角形的面积．
19．如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又 AC=1，
∠ACB=120°，AB⊥PC，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°．
（1）求证：平面 PAC⊥平面 ABC；
（2）求二面角 M﹣AB﹣C 的余弦值．
20．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点．
（1）求证：“如果直线 l 过点 T（3，0），那么 =3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
21．已知定点 F（0，1）和直线 l1：y=﹣1，过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为
点 C．
（1）求动点 C 的轨迹方程；
（2）过点 F 在直线 l2 交轨迹于两点 P、Q，交直线 l1 于点 R，求 的
最小值．
22．已知椭圆 C： =1（a＞b＞0），过点 P 作圆
x2+y2=1 的切线，切点分别为 A、B，直线 AB 恰好经过椭圆 C 的右焦点和上顶点．
（Ⅰ）求直线 AB 的方程；
（Ⅱ） ①求椭圆 C 的标准方程；
②若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交于 M，N 两点（M，N 不是左右顶点），椭圆
的右顶点为 D，且满足 ，试判断直线 l 是否过定点，若过定点，
求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
2016-2017 学年河北省邢台一中高二（上）第三次月考数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“m＞0，n＞0”是“方程 mx2+ny2=1”表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据椭圆的标准方程形式确定 m，n 的关系，然后利用充分条件和必要
条件的定义进行判断．
【解答】解：m＞0，n＞0，m=n 时，方程 mx2+ny2=1”表示圆，不是充分条件，
方程 mx2+ny2=1”表示椭圆，则 m＞0，n＞0，是必要条件，
故选：B．
2．方程 mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m
∈
R）表示的曲线不可能是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【考点】曲线与方程．
【分析】根据方程 mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m
∈
R）中不含有 x（或 y）的一次
项，即可得出结论．
【解答】解：∵方程 mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m
∈
R）中不含有 x（或 y）的一
次项，
∴方程 mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m
∈
R）不可能表示抛物线，
故选：D．
3．有下列四个命题：
①“若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若 m≤1，则 x2﹣2x+m=0 有实数解”的逆否命题；
④“若 A∩B=B，则 A=B”的逆否命题．
其中真命题为（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①②③
【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．
【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断
各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：“若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题为“若 x，y 互为倒数，则 xy=1”，
为真命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题为“面积不相等的三角形不全等”，为真命
题；
③“若 m≤1，则 x2﹣2x+m=0 有实数解”为真命题，故其逆否命题为真命题；
④“若 A∩B=B，则 A=B”为假命题，故其逆否命题为假命题．
故选：D
4．设 a、b、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立
的是（ ）
A．c⊥α，若 c⊥β，则α∥β
B．b
⊂
β，c 是 a 在β内的射影，若 b⊥c，则 a⊥b
C．b
⊂
β，若 b⊥α则β⊥α
D．b
⊂
α，c
⊄
α，若 c∥α，则 b∥c
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】A：由面面平行的性质定理可得：若 c⊥α，α∥β，则 c⊥β；B：由三垂
线定理得；C：当 b
⊂
β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有 b⊥α；D：
由线面平行的判定定理判断得；
【解答】解：对于 A 正确，c⊥α，α∥β，则 c⊥β；
对于 B 正确，由三垂线定理得；
对于 C 不正确，当 b
⊂
β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有 b⊥α；
对于 D 正确，由线面平行的判定定理判断得；
故选 C．
5．若双曲线 ﹣ =1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距
的 ，则该双曲线的虚轴长是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题设知 b= ，b= = ，由此可求出双曲
线的虚轴长．
【解答】解：双曲线 的一个焦点到一条渐近
线的距离等于 =b，
∵双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离
等于焦距的 ，
∴b= ，
∴b= = ，
∴b=1，
∴该双曲线的虚轴长是 2．
故选 A．
6．已知抛物线 C1：x2=2py（p＞0）的准线与抛物线 C2：x2=﹣2py（p＞0）交于 A，
B 两点，C1 的焦点为 F，若△FAB 的面积等于 1，则 C1 的方程是（ ）
A．x2=2y B．x2= y C．x2=y D．x2=
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由题意画出图形，求出△FAB 的底边 AB 的长及高 MF，代入三角形面积
公式求得 p 值，则抛物线方程可求．
【解答】解：如图，把 y=﹣ 代入 x2=﹣2py，得 x2=p2，∴x=±p，
则|AB|=2p，
又|MF|=p，
∴ ，则 p=1．
∴C1 的方程是 x2=2y．
故选：A．
7．已知 F 是抛物线 y= x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则 PF 中点的轨迹
方程是（ ）
A．x2﹣4y+2=0 B．2x2﹣8y+1=0 C．x2﹣4y+4=0 D．2x2﹣8y+6=0
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，然后求得抛物线的焦点，设出 P 和 Q
的坐标，然后利用 F 和 Q 的坐标表示出 P 的坐标，进而利用抛物线方程的关系
求得 x 和 y 的关系及 Q 的轨迹方程．
【解答】解：抛物线 y= x2 的标准方程是 x2=8y，故 F（0，2）．
设 P（x0，y0），PF 的中点 Q（x，y）
∴ ，
即
∴x02=8y0，即 x2﹣4y+4=0．
故选：C
8．直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 只有一个公共点，则 k 的值为（ ）
A．1 B．0 C．1 或 0 D．1 或 3
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由 ，得（kx+2）2=8x，再由直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x
有且只有一个公共点，知△=（4k﹣8）2﹣16k2=0，或 k2=0，由此能求出 k 的值．
【解答】解：由 ，得（kx+2）2=8x，
∴k2x2+4kx+4=8x，
整理，得 k2x2+（4k﹣8）x+4=0，
∵直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点，
∴△=（4k﹣8）2﹣16k2=0，或 k2=0，
解得 k=1，或 k=0．
故选 C．
9．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 恰好是双曲线 ﹣ =1（a＞0，
b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点 F，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．1+ D．1+
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把 =c 代
入整理得 c4﹣6a2c2+a4=0 等式两边同除以 a4，得到关于离心率 e 的方程，进而可
求得 e．
【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点 F
∴两条曲线交点为（ ，p），
代入双曲线方程得 ，
又 =c
代入化简得 c4﹣6a2c2+a4=0
∴e4﹣6e2+1=0
∴e2=3+2 =（1+ ）2
∴e= +1
故选：C．
10．已知双曲线 ﹣ =1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为
半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面
积为 2b，则双曲线的方程为（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C ． ﹣ =1
D． ﹣ =1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，双
曲线的两条渐近线方程为 y=± x，利用四边形 ABCD 的面积为 2b，求出 A 的
坐标，代入圆的方程，即可得出结论．
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，
双曲线的两条渐近线方程为 y=± x，
设 A（x， x），则∵四边形 ABCD 的面积为 2b，
∴2x•bx=2b，
∴x=±1
将 A（1， ）代入 x2+y2=4，可得 1+ =4，∴b2=12，
∴双曲线的方程为 ﹣ =1，
故选：D．
11．己知直线 l1：4x﹣3y+6=0 和直线 l2：x=﹣1，抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线
l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由 x=﹣1 是抛物线 y2=4x 的准线，推导出点 P 到直线 l1：4x﹣3y+6=0 的
距离和到直线 l2：x=﹣1 的距离之和的最小值．
【解答】解：∵x=﹣1 是抛物线 y2=4x 的准线，
∴P 到 x=﹣1 的距离等于 PF，
∵抛物线 y2=4x 的焦点 F（1，0）
∴过 P 作 4x﹣3y+6=0 垂线，和抛物线的交点就是 P，
∴点 P 到直线 l1：4x﹣3y+6=0 的距离和到直线 l2：x=﹣1 的距离之和的最小值
就是 F（1，0）到直线 4x﹣3y+6=0 距离，
∴最小值= =2．
故选：A．
12．已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左右焦点为 F1，F2，若椭圆 C
上恰好有 6 个不同的点，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值
范围是（ ）
A． B． C ．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】分等腰三角形△F1F2P 以 F1F2 为底和以 F1F2 为一腰两种情况进行讨论，
结合以椭圆焦点为圆心半径为 2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于 a、c 的
不等式，解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围．
【解答】解：①当点 P 与短轴的顶点重合时，
△F1F2P 构成以 F1F2 为底边的等腰三角形，
此种情况有 2 个满足条件的等腰△F1F2P；
②当△F1F2P 构成以 F1F2 为一腰的等腰三角形时，
以 F2P 作为等腰三角形的底边为例，
∵F1F2=F1P，
∴点 P 在以 F1 为圆心，半径为焦距 2c 的圆上
因此，当以 F1 为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时，
存在 2 个满足条件的等腰△F1F2P，
在△F1F2P1 中，F1F2+PF1＞PF2，即 2c+2c＞2a﹣2c，
由此得知 3c＞a．所以离心率 e＞ ．
当 e= 时，△F1F2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故 e≠
同理，当 F1P 为等腰三角形的底边时，在 e 且 e≠ 时也存在 2 个满足
条件的等腰△F1F2P
这样，总共有 6 个不同的点 P 使得△F1F2P 为等腰三角形
综上所述，离心率的取值范围是：e
∈
（ ， ）∪（ ，1）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．抛物线 y=﹣2x2 的准线方程为 y= ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先将抛物线的方程化为标准方程，再由 x2=﹣2py 的准线方程 y= ，计
算即可得到所求方程．
【解答】解：抛物线 y=﹣2x2 即为 x2=﹣ y，
由 x2=﹣2py 的准线方程 y= ，
由 x2=﹣ y，可得 p= ，
可得所求准线方程为 y= ．
故答案为：y= ．
14．设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2﹣2y2=1 有公共的焦点，且它们的离心率互
为倒数，则该椭圆的方程是 +y2=1 ．
【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质；圆锥曲线的共同特征．
【分析】根据双曲线方程求得其焦点坐标和离心率，进而可得椭圆的焦点坐标和
离心率，求得椭圆的长半轴和短半轴的长，进而可得椭圆的方程．
【解答】解：双曲线中，a= =b，∴F（±1，0），e= = ．
∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为 ．
∴则长半轴长为 ，短半轴长为 1．
∴方程为 +y2=1．
故答案为： +y2=1
15．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB=BC，
AC=2a，BB1=3a，D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF= a 或 2a 时，
CF⊥平面 B1DF．
【考点】直线与平面垂直的判定．
【分析】本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间
坐标系，给出有关点的坐标，设出点 F 的坐标，由线面垂直转化为线的方向向量
与面的法向量垂直，利用二者内积为零建立关于参数的方程参数，即可计算得解．
【解答】解：由题意可得直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，
BB1⊥面 ABC，∠ABC= ．
以 B 点为原点，BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为 AC=2a，∠ABC=90°，所以 AB=BC= a，
从而 B（0，0，0），A（ a，0，0），C（0， a，0），B1（0，0，3a），
A1（ a，0，3a），C1（0， a，3a），D（ a， a，3a），
所以 =（ a，﹣ a，3a），
设 AF=x，则 F（ a，0，x）， =（ a，﹣ a，x），
=（ a，0，x﹣3a）， =（ a， a，0）．
• = a• a+（﹣ a）• a+x•0=0，
所以 ⊥ ．
要使 CF⊥平面 B1DF，只需 CF⊥B1F．
由 • =2a2+x（x﹣3a）=0，得 x=a 或 x=2a，
故当 AF=a 或 2a 时，CF⊥平面 B1DF．
故答案为：a 或 2a．
16．直线 y=x+3 与曲线 =1 的公共点个数为 3 ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】分 x 大于等于 0，和 x 小于 0 两种情况去绝对值符号，可得当 x≥0 时，
曲线 =1 为焦点在 y 轴上的双曲线，当 x＜0 时，曲线
=1 为焦点在 y 轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线 y=x+3
与曲线 =1 的图象，就可找到交点个数．
【 解 答 】 解 ： 当 x ≥ 0 时 ， 曲 线 =1 的 方 程 为
当 x＜0 时，曲线 =1 的方程为 ，
∴曲线 =1 的图象为右图，
在同一坐标系中作出直线 y=x+3 的图象，
可得直线与曲线交点个数为 3 个．
故答案为 3
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．设命题 p：
∃
x
∈
R，x2+2ax﹣a=0．命题 q：
∀
x
∈
R，ax2+4x+a≥﹣2x2+1．如果命
题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数 a 的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】
∃
x
∈
R，x2+2ax﹣a=0，∴命题 p 为真时 a 的范围为 a≥0 或 a≤﹣1．
∀
x
∈R，ax2+4x+a≥﹣2x2+1，∴命题 q 为真时 a 的范围为 a≥2 或 a≤﹣2．∵命题“p
∨q”为真命题，“p∧q”为假命题∴p 与 q 是一个为真一个为假．所以 a
∈
（﹣2，
﹣1]∪[0，2）
【解答】解：∵
∃
x
∈
R，x2+2ax﹣a=0．
∴方程 x2+2ax﹣a=0 有解
∴△=4a2+4a≥0 即 a≥0 或 a≤﹣1
∴命题 p 为真时 a 的范围为 a≥0 或 a≤﹣1
∵
∀
x
∈
R，ax2+4x+a≥﹣2x2+1
∴（a+2）x2+4x+a﹣1≥0 在 R 上恒城立
∴ 显 然 a= ﹣ 2 时 不 恒 成 立 ， 因 此 有
，
解得 a≥2，
∴命题 q 为真时 a 的范围为 a≥2．
又∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题
∴p 与 q 是一个为真一个为假
所以 a
∈
（﹣∞，﹣1]∪[0，2）
所以实数 a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[0，2）．
18．中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线 C 过点 ，离
心率为 ．
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）过 C 的左顶点 A 引 C 的一条渐近线的平行线 l，求直线 l 与另一条渐近线及
x 轴围成的三角形的面积．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】（1）确定双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为 x2 ﹣y2=a2 ，代入
得 a2=4，即可求双曲线 C 的方程；
（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三
角形的面积．
【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 设 双 曲 线 的 实 轴 长 为 2a ， 虚 轴 长 为 2b ， 则
﹣﹣
∴a=b，故双曲线的渐近线方程为 y=±x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
将 x=3 代入 y=x 得 ，
故双曲线的焦点在 x 轴上，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设其方程为 x2﹣y2=a2，代入 得 a2=4，
故所求双曲线方程为 x2﹣y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）双曲线 x2﹣y2=4 的左顶点 A（﹣2，0），渐近线方程为 y=±x
过点 A 与渐近线 y=x 平行的直线方程为 y=x+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
它与双曲线的另一渐近线 y=﹣x 交于 M（﹣1，1）
∴所求三角形的面积为. ﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又 AC=1，
∠ACB=120°，AB⊥PC，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°．
（1）求证：平面 PAC⊥平面 ABC；
（2）求二面角 M﹣AB﹣C 的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面 PAC⊥平面 ABC；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角 M﹣AB﹣C 的余弦值．
【解答】解（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B …
∴PC⊥平面 ABC，…
又∵PC
⊂
平面 PAC …
∴平面 PAC⊥平面 ABC …
（2）在平面 ABC 内，过 C 作 CD⊥CB，
建立空间直角坐标系 C﹣xyz（如图）
由题意有 A（ ，﹣ ，0），B（0，2，0）
设 P（0，0，z），（z＞0），
则 M（0，1，z）， =（﹣ ， ，z）， =（0，0，z），
由直线 AM 与直线 PC 所成的解为 60°，得
• =| || |cos60°，
即 z2= z ，解得：z=1 …
∴ =（﹣ ， ，0）， =（ ， ，1），
设平面 MAB 的一个法向量为 =（x，y，z），
则 ，
取 x= ，得 =（ ， ， ），…
平面 ABC 的法向量取为 =（0，0，1）…
设 与 所成的角为θ，则 cosθ= ，…
显然，二面角 M﹣AC﹣B 的平面角为锐角，
故二面角 M﹣AC﹣B 的平面角余弦值为 ． …
20．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点．
（1）求证：“如果直线 l 过点 T（3，0），那么 =3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
【考点】四种命题的真假关系；抛物线的简单性质．
【分析】（1）设出 A，B 两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，
（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出 A，B 两点的坐标根据向量运算求
证即可．
【解答】解：（1）设过点 T（3，0）的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A（x1，y1）、B
（x2，y2）．
当直线 l 的钭率不存在时，直线 l 的方程为 x=3，
此时，直线 l 与抛物线相交于点 A（3， ）、B（3，﹣ ）．
∴ =3；
当直线 l 的钭率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（x﹣3），其中 k≠0，
由 得 ky2﹣2y﹣6k=0
⇒
y1y2=﹣6
又∵ ，
∴
，
综上所述，命题“如果直线 l 过点 T（3，0），那么 =3”是真命题；
（2）逆命题是：设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点，
如果 =3，那么该直线过点 T（3，0）．该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点 A（2，2），B（ ，1），
此时 =3，
直线 AB 的方程为： ，而 T（3，0）不在直线 AB 上；
说明：由抛物线 y2=2x 上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2）满足 =3，可
得 y1y2=﹣6，
或 y1y2=2，如果 y1y2=﹣6，可证得直线 AB 过点（3，0）；如果 y1y2=2，可证得直
线
AB 过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．
21．已知定点 F（0，1）和直线 l1：y=﹣1，过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为
点 C．
（1）求动点 C 的轨迹方程；
（2）过点 F 在直线 l2 交轨迹于两点 P、Q，交直线 l1 于点 R，求 的
最小值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（1）根据点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离，依据抛物线的定义可知
点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1 为准线的抛物线，进而求得其轨迹方程．
（2）设出直线 l2 的方程与抛物线方程联立消去 y，设出 P，Q 的坐标，根据韦达
定理表示出 x1+x2 和 x1x2 的表达式，进而可得点 R 的坐标，表示出 ，
根据均值不等式求得其最小值．
【解答】解：（1）由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离，
∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1 为准线的抛物线
∴所求轨迹的方程为 x2=4y
（2）由题意直线 l2 的方程为 y=kx+1，
与抛物线方程联立消去 y 得 x2﹣4kx﹣4=0．
记 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 x1+x2=4k，x1x2=﹣4．
因为直线 PQ 的斜率 k≠0，易得点 R 的坐标为
=
=
=
= ，
∵ ，当且仅当 k2=1 时取到等号．
的最小值为 16
22．已知椭圆 C： =1（a＞b＞0），过点 P 作圆
x2+y2=1 的切线，切点分别为 A、B，直线 AB 恰好经过椭圆 C 的右焦点和上顶点．
（Ⅰ）求直线 AB 的方程；
（Ⅱ） ①求椭圆 C 的标准方程；
②若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交于 M，N 两点（M，N 不是左右顶点），椭圆
的右顶点为 D，且满足 ，试判断直线 l 是否过定点，若过定点，
求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）方法一、过点 P 作圆的切线，求得一条切线为 x=1，由 OP⊥AB，
运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得 AB 的斜率，进而得到直线 AB 的
方程；
方法二、求得以 OP 为直径的圆的方程，联立已知圆的方程，相减 即可得到所
求直线 AB 的方程；
（Ⅱ）①求得椭圆的右焦点和上顶点，即可得到 a，b，进而得到椭圆方程；
②设 M（x1，y1），N（x2，y2），把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数
的关系，再利用 ，由向量的数量积的坐标表示，即可得出 m
与 k 的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）方法一：过点 P 作圆的切线，
由题意，其中一条切线方程为：x=1，∴A（1，0），
由题意得，OP⊥AB，∵ ，∴ ，
所以直线 AB 的方程为： ，
即 ；
方 法 二 ： 以 OP 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 ：
，
即 ， 联 立
，
两式相减，得到直线 AB 的方程为： ，
即 ；
（Ⅱ）①令 ，
∴右焦点为 F（1，0），上顶点为 ，
即 ，
∴椭圆的方程为 + =1；
②设 M（x1，y1），N（x2，y2），
由 得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，
△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为 3+4k2＞m2．
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2= ．
由 ，又椭圆的右顶点 D（2，0）
∴
∴
，
∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，
∴ + + +4=0．
化为 7m2+16mk+4k2=0，
解得 m1=﹣2k，m2=﹣ ，且满足 3+4k2﹣m2＞0．
当 m=﹣2k 时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当 m=﹣ 时，l：y=k（x﹣ ），直线过定点（ ，0）．
综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为（ ，0）．
2017 年 2 月 12 日