2021版高考数学一轮复习大题规范满分练二苏教版 4页

大题规范满分练(二)三角综合问题 ‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.‎ ‎(1)求cos∠ADB.‎ ‎(2)若DC=2,求BC.‎ ‎【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.‎ 由题设知,=,‎ 所以sin∠ADB=.‎ 由题意知,∠ADB<90°,‎ 所以cos∠ADB==.‎ ‎(2)由题意及(1)知,‎ cos∠BDC=sin∠ADB=.‎ 在△BCD中,‎ 由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.‎ 所以BC=5.‎ ‎2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(‎2a+c,b),且m⊥n.‎ ‎(1)求角B的大小.‎ ‎(2)若b=,求a+c的取值范围.‎ ‎【解析】(1)因为m=(cos B,cos C),n=(‎2a+c,b),且m⊥n,所以(‎2a+c)cos B ‎+bcos C=0,‎ 所以cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0,‎ 所以2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0.‎ - 4 -‎ 即2cos Bsin A=-sin (B+C)=-sin A.‎ 因为A∈(0,π),所以sin A≠0,‎ 所以cos B=-.‎ 因为0b=,所以a+c∈(,2].‎ 即a+c的取值范围是(,2].‎ ‎3.已知向量a=(1,cos 2x),b=(sin 2x,-),函数f(x)=a·b.‎ ‎(1)若f=,求cos 2θ的值.‎ ‎(2)若x∈,求函数f的值域.‎ ‎【解析】(1)因为向量a=(1,cos 2x),b=(sin 2x,-),‎ 所以f(x)=a·b=sin 2x-cos 2x=2sin,‎ - 4 -‎ 所以f(+)=2sin(θ+-)=-2sin θ=,则sin θ=-,cos 2θ=1-2sin2 θ=1-2×=;‎ ‎(2)由x∈,则2x-∈,‎ 所以sin∈,‎ 则f(x)∈[-,2],则f(x)的值域为[-,2].‎ ‎4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=.‎ ‎(1)求B.‎ ‎(2)若b=1,求△ABC面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)由余弦定理可得,==,‎ 则=,‎ 即sin Acos B=cos Bsin C+sin Bcos C,‎ 所以sin Acos B=sin(B+C)=sin A,‎ 因为sin A≠0,则cos B=,所以B=.‎ ‎(2)由余弦定理可知,b2=a2+c2-2accos B,‎ 即1=a2+c2-ac,所以1=a2+c2-ac≥‎2ac-ac,当且仅当a=c时取等号,‎ 则ac≤=.‎ - 4 -‎ S△ABC=acsin B≤,‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ - 4 -‎