2014必备北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲 立体几何中的有关证明含详解 3页

数学高考综合能力题选讲15‎ 立体几何中的有关证明 题型预测 立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。‎ 范例选讲 例1． 已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。‎ ‎（1）求证：AC⊥面BB’C’C。‎ ‎（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。‎ ‎ 讲解：（1）∵ B’D⊥面ABC，AC面ABC，‎ ‎∴ B’D⊥AC，‎ 又AC⊥BC，BC∩B’D=D，‎ ‎∴ AC⊥面BB’C’C。‎ ‎ （2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。‎ ‎ 因为B’D⊥面ABC，所以，就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。‎ ‎ 由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。‎ ‎ 即当α=时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。‎ ‎ 例2． 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。‎ ‎（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；‎ ‎（2）求二面角的平面角的正切值。‎ ‎ 讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。‎ ‎ 首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。‎ ‎ ∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，‎ ‎∴ DE在平面ABCD内的射影就是DC。‎ 在正方形ABCD中，DC⊥CB，‎ ‎∴ DE⊥CB。‎ 又，，‎ ‎∴ DE⊥。‎ 又面EDB，‎ ‎∴ 平面EDB⊥平面PBC。‎ ‎ （2）由（1）的证明可知：DE⊥。所以，就是二面角的平面角。‎ ‎ ∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，‎ 又平面ABCD内的直线CB⊥ DC。‎ ‎ ∴ CB⊥面PDC。‎ ‎ 又面PDC，‎ ‎ ∴ CB⊥PC。‎ ‎ 在Rt中，。‎ ‎ 点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。‎ 例3．如图：在四棱锥中，⊥平面，∠，，，为的中点。‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？‎ 讲解：题目中涉及到平面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明CE平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。‎ ‎ （1）延长BC、AD交于点F。‎ 在中，∠，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，所以，∽。又，，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。‎ ‎ 又因为为的中点，所以，EC为的中位线，所以，EC//SF。‎ ‎ 又，，所以，平面。‎ ‎ （2）因为：⊥平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，，所以，AB面。‎ ‎ 过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面角。‎ ‎ 在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。‎ ‎ 此时，在SAF中，，所以，。‎ ‎ 在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则 h=‎ 因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即。‎ ‎ ‎ ‎ 点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。‎