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- 2021-04-17 发布
牡一中2016—2017年度下学期期末考试
高二理科数学试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，则等于( )
A． B． C． D．
2、若 ，则下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
3、函数的定义域为( )
A． B． C． D．
4、设，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5、已知，，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6、已知变量满足：则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7、已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
8、已知,,,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9、已知是定义在上的奇函数，满足对任意的实数，都有，当时，，则在区间上（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
10、定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11、 若不等式，对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、已知函数的定义域为，若存在常数，使得对所有实数均成立，则称函数为“期望函数”，下列函数中“期望函数”的个数是（ ）
① ② ③ ④
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应的位置上)
13、函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 。
14、已知函数的图象如图所示，设函数，则函数的定义域是__ ____。
15、已知f(x)是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与
轴的交点的个数为 。
16、以下说法正确的是____ _。(填写所有正确命题的序号)
①不等式 与不等式 解集相同；
②已知命题 “若，则”的否命题是“若，则” ，命题 “若，则”与命题“若，则”等价，则为真命题，为假命题；
③命题“”的否定是“”；
④已知幂函数的图像经过点，则。
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为。在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为。
（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）若点P坐标为，圆与直线交于两点，求的值。
18、（12分）已知函数。
（1）若，解不等式；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围。
19、（12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
月份x
1
2
3
4
5
y（万盒）
4
4
5
6
6
（1）该同学为了求出关于的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
20、（12分）已知函数，其中，设是的导函数，讨论的单调性和极值。
21、（12分）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且，点在圆上运动。
(1)求点的轨迹方程；
(2)过定点的直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在点，使为常数，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
22、（12分）设函数。
（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由。
牡一中2016—2017年度下学期期末考试
高二理科数学试题答案
一、选择题说明：每题5分，单选题，共60分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
C
B
D
A
B
A
D
D
B
二、填空题 每题5分 共20分
13、(0,3)； 14、(1,7］； 15、7 16、④
三、解答题 17题10分，18-22题每题12分
17、【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0
又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0
设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1+t2=3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．
18、【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，
或或，
解得：﹣≤x≤；
（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，
即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，
由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，
即有f（x）的最大值为|a+6|，
∴或，
解得：a≥﹣．
19、【解答】解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，
因线性回归方程=x+过点（，），
∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，
∴6月份的生产甲胶囊的产量数： =0.6×6+3.2=6.8．
（2）ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，
其分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以Eξ==．
20、【解析】由已知，函数的定义域为，
，
所以.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
；
当时，在区间上单调递增，无极值.
21、解 (1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝y.
∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.
∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.
点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．
(2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，
联立方程组
整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴·＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)
＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2
＝(1＋k2)×＋(k2－n)×＋k2＋n2
＝＋n2
＝＋n2
＝(2n2＋4n－1)－.
∵·是与k无关的常数，∴2n＋＝0.
∴n＝－，即N，此时·＝－.
当直线AB与x轴垂直时，若n＝－，则·＝－.
综上所述，在x轴上存在定点N，使·为常数．
22、【解答】解：（1）当m=1时，，
∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，
由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，
∴，∴n=5．
（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），
又，
由题意，得的最小值为负，
∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，
∴，
∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4舍，
∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5舍；
∴m﹣n＞3
（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，
则θ'（x）=，
设，
∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，
不妨设δ（x0）=0，即，
可得（）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，
在（x0，+∞）上单调递减，
所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，
代入（）式得，
根据题意恒成立．
又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立
即有，即ax0=1，即．
代入（）式得，，即，
解得．
解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
根据条件对任意正数x恒成立，
即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
∴且，解得且，
即时上述条件成立，此时．
解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，
即对任意正数x恒成立，
设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，
与x正半轴至少有一个交点的抛物线，
因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，
即，所以．