2020年高中数学第二章随机变量及其分布章末检测新人教A版选修2-3 8页

第二章 随机变量及其分布 章末检测 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．袋中装有大小相同的5只球，上面分别标有1,2,3,4,5，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是 (　　)‎ A．25　　　　　　　　 B．10‎ C．9 D．5‎ 解析：“有放回”的取和“不放回”的取是不同的，故X的所有可能取值有2、3、4、5、6、7、8、9、10共9种．‎ 答案：C ‎2．某产品有40件，其中有次品3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率约是(　　)‎ A．0.146 2 B．0.153 8‎ C．0.996 2 D．0.853 8‎ 解析：P＝1－≈0.146 2，故选A.‎ 答案：A ‎3．已知离散型随机变量X的分布列如下：‎ X ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ P ‎0.5‎ m ‎0.2‎ 则其数学期望E(X)等于(　　)‎ A．1 B．0.6‎ C．2＋‎3m D．2.4‎ 解析：由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，‎ 所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.‎ 答案：D ‎4．已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是，假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 8‎ 解析：记“甲投球1次命中”为事件A，“乙投球1次命中”为事件B.根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.‎ 答案：D ‎5．设随机变量ξ～B(5,0.5)，又η＝5ξ，则E(η)和D(η)分别为(　　)‎ A.和 B.和 C.和 D.和 解析：因为随机变量ξ～B(5,0.5)，‎ 所以E(ξ)＝5×0.5＝2.5.‎ D(ξ)＝5×0.5×0.5＝1.25，又∵η＝5ξ，‎ ‎∴E(η)＝5E(ξ)＝，D(η)＝25D(ξ)＝.‎ 答案：C ‎6．已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(1≤X≤3)＝，则n的值为(　　)‎ A．3 B．5‎ C．10 D．15‎ 解析：由已知X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，所以P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝，n＝15.‎ 答案：D ‎7．已知X，Y为随机变量，且Y＝aX＋b，若E(X)＝1.6，E(Y)＝3.4，则a，b可能的值分别为(　　)‎ A．2,0.2 B．1,4‎ C．0.5,1.4 D．1.6,3.4‎ 解析：由E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝‎1.6a＋b＝3.4，把选项代入验证，可知选项A满足．‎ 答案：A ‎8．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B为“取到的两数均为偶数”，P(B|A)＝(　　)‎ A. B. 8‎ C. D. 解析：∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，‎ ‎∴P(B|A)＝＝.‎ 答案：B ‎9．已知随机变量X～N(0，σ2)．若P(X>4)＝0.02，则P(0≤X≤4)＝(　　)‎ A．0.47 B．0.52‎ C．0.48 D．0.98‎ 解析：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．‎ 又P(X>4)＝0.02，‎ 所以P(0≤X≤4)＝0.5－P(x>4)＝0.5－0.02＝0.48.‎ 答案：C ‎10．盒中有10只相同形状的螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　　)‎ A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的 C．恰有2只是好的 D．至多2只是坏的 解析：设ξ＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4)，‎ ‎∴P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝.故选C.‎ 答案：C ‎11．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　)‎ A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a C．1,4 D．1,4＋a 解析：＝ ‎＝ ‎＝＋a＝1＋a.‎ s2＝×[x1＋a－(1＋a)]2＋[x2＋a－(1＋a)]2＋…＋[x10＋a－(1＋a)]2‎ ‎＝ ‎＝4.‎ 8‎ 答案：A ‎12．一批电阻的阻值ξ服从正态分布N(1 000,52)(单位：Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 001 Ω和982 Ω，可以认为(　　)‎ A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 解析：∵μ＝1 000，σ＝5，‎ ‎∴(μ－σ，μ＋σ)＝(995,1 005)，‎ ‎(μ－2σ，μ＋2σ)＝(990,1 010)，‎ ‎(μ－3σ，μ＋3σ)＝(985,1 015)，‎ 又1 001∈(μ－σ，μ＋σ)，而982不属于任一个区间，故C正确．‎ 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)‎ ‎13．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________.‎ 解析：因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，‎ 所以E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝.‎ 答案： ‎14．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值为________．‎ 解析：由题意，C·()5＝C·()5，所以k＝2.‎ 答案：2‎ ‎15．某厂生产的灯泡能用1 000小时的概率为0.8，能用1 500小时的概率为0.4，则已用1 000小时的灯泡能用到1 500小时的概率是________．‎ 解析：设灯泡能用1 000小时为事件A，能用1 500小时为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝P(B)＝0.4，‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝0.5.‎ 答案：0.5‎ ‎16. 一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上一面出现的数之积的数学期望是________．‎ 8‎ 解析：设ξ表示向上一面出现的数之积(ξ＝0,1,2,4)，则P(ξ＝1)＝×＝，P(ξ＝2)＝C××＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝0)＝C××＝，∴E(ξ)＝1×＋2×＋4×＋0×＝.‎ 答案： 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(12分)某跳高运动员一次试跳‎2米高度成功的概率是失败的概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．‎ ‎(1)求该跳高运动员试跳三次，第三次才成功的概率；‎ ‎(2)求该跳高运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．‎ 解析：设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p，则失败的概率为1－p.依题意有p＝4(1－p)，解得p＝.‎ ‎(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响，所以该跳高运动员试跳三次中第三次才成功的概率为(1－p)2p＝2×＝.‎ ‎(2)该跳高运动员的三次试跳可看成三次独立重复试验，故该跳高运动员在三次试跳中恰有两次成功的概率为p1＝C2×＝.‎ ‎18．(12分)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．‎ 解析：甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.记事件A为“甲打完3局就能取胜”，记事件B为“甲打完4局才能取胜”，记事件C为“甲打完5局才能取胜”．则甲打完3局取胜的概率为 P(A)＝C×3＝.‎ 甲打完4局才能取胜的概率为 P(B)＝C×2××＝.‎ 甲打完5局才能取胜的概率为 P(C)＝C×2×2×＝.‎ ‎19．(12分)一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为 0.5，电话C、D 8‎ 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．‎ 解析：ξ的可能取值为0,1,2,3,4.‎ P(ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，‎ P(ξ＝1)＝C×0.52×0.62＋C×0.52×0.4×0.6＝0.3，‎ P(ξ＝2)＝C×0.52×0.62＋C×0.52×C0.4×0.6＋C×0.52×0.42＝0.37，‎ P(ξ＝3)＝C×0.52×C0.4×0.6＋C×0.52×C×0.42＝0.2，‎ P(ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.‎ 于是得到随机变量ξ的概率分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.09‎ ‎0.3‎ ‎0.37‎ ‎0.2‎ ‎0.04‎ 所以E(ξ)＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.‎ ‎20．(12分)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．‎ 解析：∵X～N(50,102)，‎ ‎∴μ＝50，σ＝10.‎ ‎∴P(30