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- 2021-04-17 发布
南充市高2018届第二次高考适应性考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合，，则( )
A． B． C． D．
2.已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点为( )
A． B． C． D.
3.已知，则的值为( )
A．-3 B．3 C． D．
4.命题“”的否定是( )
A． B．
C. D．
5.设是周期为4的奇函数，当时，，则( )
A． B． C. D．
6.在区间上随机取一个数，则事件发生的概率为( )
A． B． C. D．
7.我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，成功的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想，如图所示的框图的算法思路就源于我国古代成边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图，若输入，则输出的值为( )
A．19 B.31 C.51 D．63
8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )
A． B． C. D．
9.抛物线的焦点为，准线为是上一点，连接并延长交抛物线于点，若，则( )
A．3 B．4 C.5 D．6
10.已知点为内一点，且有,记的面积分别为，则等于( )
A．6：1：2 B．3：1：2 C. 3：2：1 D．6：2：1
11.在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为( )
A．1 B．2 C.3 D．4
12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是( )
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在的二项展开式中，的系数为 ．
14.已知等比数列中，，则 ．
15.如图，在正方形中，为边上的动点，设向量,则的最大值为 ．
16.已知函数，函数对任意的都有成立，且与的图象有个交点为，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知在中，角的对边分别为，且满足.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求面积的最大值.
18.在某校矩形的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在范围内，规定分数在80以上（含80）的同学获奖，按文理科用分层抽样的放发抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图.
(Ⅰ)填写下面的列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”；
(Ⅱ)将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为,求的分布列及数学期望.
文科生
理科生
合计
获奖
5
不获奖
合计
200
附表及公式：，其中
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，,.
(Ⅰ)求证：平面平面 ；
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
20.已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.
21.已知函数.
(Ⅰ)若函数与的图象无公共点，求实数的取值范围；
(Ⅱ)是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说明理由.
（参考数据：）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；
(Ⅱ)若射线与曲线，分别交于两点，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)解关于的不等式；
(Ⅱ)若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围.
南充市高 2018 届第二次高考适应性考试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题
1-5:CBABA 6-10:DCBCA 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 15.3 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）因为,所以，
即，由正弦定理可得，即
则由余弦定理有，又，所以.
(Ⅱ)，
当且仅当时取等号，即.
故.故的最大值为
18.解：(Ⅰ)联表如下：
文科生
理科生
合计
获奖
5
35
40
不获奖
45
115
160
合计
50
150
200
由表中数据可得：
所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”
（Ⅱ）由表中数据可知，抽到获奖学生的概率为
将频率视为概率，所以可取且
0
1
2
3
期望
19.解：（Ⅰ）取中点,连接,
∵四边形是边长为 2 的菱形，∴A.
∵，∴是等边三角形．∴ .
∵,∴.
∵,∴.∴.
∵,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)∵为的中点
由（Ⅰ）知，平面平面,∴平面
∴直线 两两垂直．
以为原点建立空间直角坐标系，如图，
则.
∴.
设平面的法向量，
由，得，取，得，
设平面的法向量为，由,得，
取，得，
∴，由图可知二面角为锐二面角.
∴二面角的余弦值为.
20.解：（Ⅰ）由题意知是线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点 ,为焦点，焦距为 2，长轴为的椭圆，
∴，
故点的轨迹方程是
（Ⅱ）设直线
直线与圆相切
联立
所以
或，
故所求范围为.
21.解：（Ⅰ）因为函数与的图象无公共点，所以方程无实数解，
即无实数解，令，.
当时，，当时，
在单增，在单减，
故时，取得极大值，也为最大值.
所以，实数的取值范围.
（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式，即在上恒成立，
令，则，.
因为在上单调递增，且.
所以存在，使得，即，所以.
当时，单调递减，当时，单调递增.
于是的最小值为.
所以，则在上单调递增.
所以.
故存在实数满足题意，且最大整数的值为 1 .
22.解：（Ⅰ）由得.
所以曲线的普通方程为.
把，代入，得到，化简得到曲线的极坐标方程为.
（Ⅱ）依题意可设,曲线的极坐标方程为.
将代入的极坐标方程得，解得.
将代入的极坐标方程得.
所以.
23.解：（Ⅰ）由可得.
所以或或
于是或，
即.所以原不等式的解集为.
（Ⅱ）由条件知，不等式有解，则即可.
由于，
当且仅当，即当时等号成立，故.
所以，的取值范围是.